请教：绳子围成的图像是否为平面图形？

shidilin

绳子围成的图像是否为平面图形？若是平面图像，是…… ？

kuing

肯定不是平面的。
“平面斜截圆锥的侧面展开图”我以前已经研究过，展开的曲线不会是直线，对于本题，绳子最短就是要展开的曲线是直线，因此未展开前不会是平面的。

shidilin

回复 2# kuing

噢，不是平面图形。哪空间图形是什么东东啊？

敬畏数学

回复 1# shidilin
很少有人提出这样的问题，还真没有想过。

hejoseph

圆锥面上最短的曲线方程很复杂，也不是中学里熟悉的曲线，反正展开后就很简单的，以前做过一个简单的几何画板文件，曲线大概是这个样子的

kuing

建系如左图，起始点为 `A(0,-r,0)`，其中 `r` 为底面圆半径，设母线长为 `L` 且 `r/L=\lambda`，为确保最短路径是直线，需满足 `\lambda<1/2`，`P` 为路径上任意一点。

将侧面展开后如右图，有 `\angle SAP=\pi/2-\pi r/L=\pi/2-\lambda\pi` 以及 `\angle ASP=\theta r/L=\lambda\theta`，于是
\begin{align*}
\frac{SP}L&=\frac{\sin\angle SAP}{\sin\angle SPA}\\
&=\frac{\sin\angle SAP}{\sin(\angle SAP+\angle ASP)}\\
&=\frac1{\cos\angle ASP+\cot\angle SAP\sin\angle ASP}\\
&=\frac1{\cos(\lambda\theta)+\tan(\lambda\pi)\sin(\lambda\theta)},
\end{align*}
显然 `C(r\sin\theta,-r\cos\theta,0)`，而 `OS=\sqrt{L^2-r^2}=\sqrt{1/\lambda^2-1}\cdot r`，由此可得路径轨迹的参数方程为
\[\led
x&=\frac{\sin\theta}{\cos(\lambda\theta)+\tan(\lambda\pi)\sin(\lambda\theta)}\cdot r,\\
y&=\frac{-\cos\theta}{\cos(\lambda\theta)+\tan(\lambda\pi)\sin(\lambda\theta)}\cdot r,\\
z&=\left( 1-\frac1{\cos(\lambda\theta)+\tan(\lambda\pi)\sin(\lambda\theta)} \right)\sqrt{\frac1{\lambda^2}-1}\cdot r,
\endled\]
其中参数 `\theta\in[0,2\pi)`。

对于楼主的题来说，`r=2`, `L=6`, `\lambda=1/3`，代入上式即
\[\led
x&=\frac{2\sin\theta}{\cos(\theta/3)+\sqrt3\sin(\theta/3)},\\
y&=\frac{-2\cos\theta}{\cos(\theta/3)+\sqrt3\sin(\theta/3)},\\
z&=4\sqrt2-\frac{4\sqrt2}{\cos(\theta/3)+\sqrt3\sin(\theta/3)},
\endled\]
用软件画一下，其形状就像楼上所贴的那样：

敬畏数学

回复 6# kuing
太棒了！仔细读读。

kuing

有 mathematica 的可以运行如下命令看效果：

1. tu1 = ParametricPlot3D[{{(2 Sin[t])/(
2.      Cos[t/3] + Sqrt[3] Sin[t/3]), (-2 Cos[t])/(
3.      Cos[t/3] + Sqrt[3] Sin[t/3]),
4.      4 Sqrt[2] - (4 Sqrt[2])/(Cos[t/3] + Sqrt[3] Sin[t/3])}}, {t, 0,
5.     2 Pi}];
6. tu2 = ContourPlot3D[
7.    x^2 + y^2 == (z - 4 Sqrt[2])^2/8, {x, -2, 2}, {y, -2, 2}, {z, 0,
8.     4 Sqrt[2]}, BoxRatios -> Automatic, Mesh -> None,
9.    ContourStyle -> Opacity[0.2], PlotPoints -> 40];
10. Show[tu2, tu1]

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shidilin

谢谢各位的答复！

isee

回复 8# kuing

很像领口哦