√2a,b,c成等差，求3/sinA+√2/sinC最小值

tommywong

在$\triangle ABC$中，設角$A,B,C$的對邊分別為$a,b,c$，
若$\sqrt{2}a,b,c$構成等差數列，則$\frac{3}{\sin{A}}+\frac{\sqrt{2}}{\sin{C}}$的最小值為

kuing

总感觉是从几何图形里出的，所以可能会有几何秒法……

不管了，先上个装逼均值解法：由面积公式及均值，有
\begin{align*}
\frac3{\sin A}+\frac{\sqrt2}{\sin C}
&=\frac{3bc}{2S}+\frac{\sqrt2ab}{2S}\\
&=\frac{2b\bigl(\sqrt2a+3c\bigr)}{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}}\\
&=\frac{2\sqrt3b\bigl(\sqrt2a+3c\bigr)}{\sqrt{\bigl((b+c)^2-a^2\bigr)\cdot3\bigl(a^2-(b-c)^2\bigr)}}\\
&\geqslant\frac{4\sqrt3b\bigl(\sqrt2a+3c\bigr)}{(b+c)^2-a^2+3a^2-3(b-c)^2}\\
&=\frac{2\sqrt3b\bigl(\sqrt2a+3c\bigr)}{a^2-b^2+4bc-c^2},
\end{align*}
由条件有 `b=\bigl(\sqrt2a+c\bigr)/2`，代入上式化简得到
\begin{align*}
\frac3{\sin A}+\frac{\sqrt2}{\sin C}
&\geqslant\frac{4\sqrt3\bigl(\sqrt2a+c\bigr)\bigl(\sqrt2a+3c\bigr)}{2a^2+6\sqrt2ac+3c^2}\\
&=4\sqrt3-\frac{8\sqrt6ac}{2a^2+6\sqrt2ac+3c^2}\\
&\geqslant4\sqrt3-\frac{8\sqrt6}{2\sqrt6+6\sqrt2}\\
&=2+2\sqrt3,
\end{align*}
不难验证当 $A=60\du$ 且 $C=45\du$ 时满足题意且原式 `=2+2\sqrt3`，即等号能取，所以这就是所求的最小值。

isee

题目条件与所求好远好远

敬畏数学

此题真的是这样做吗？晕掉了。

色k

回复 4# 敬畏数学

直觉告诉我会有秒杀方法，只是暂时还没想到，你们也一起来想想吧

游客

不知道这个是否有用。

敬畏数学

回复 6# 游客
来几个文字解释一下？

其妙

某网友的柯西解答：

kuing

回复 8# 其妙

介个还不错，至少比我那个自然得多

isee

回复 8# 其妙


    唉，没想到把有关A，C的和乘一下……

    主要这个数据也是变态。。。。。。。

敬畏数学

余弦定理关键。

游客

回复 7# 敬畏数学


楼上的余弦定理可以不用,直接看图知道:当AC⊥BD时,BA、BC都是圆的切线，∠B达到最大值75度。