切线法问题

业余的业余

张亚争 博客中有一套切线法的题目汇编。有两道需要缩放，让人茫无头绪。其中一道正是源自坛主 kuing. 题目如下:

1. 已知 $x,y,z\in\mathbb{R}$,且 $x+y+z=3$, 求 $f(x,y,z)=\sqrt{2x+13}+\sqrt[3]{3y+5}+\sqrt[4]{8z+12}$ 的最大值；

2. 已知 $x,y,z\ge 0$ 且 $x+y+z=1$. 求 $f(x,y,z)=x^3+2y^2+\cfrac{10}3 z$ 的取值范围。

谢谢关注！

kuing

整理此《切线法证不等式题目汇编2013.8.11》的网友 Tesla35 是在网络上搜集这些题目的。
既然你知道第一题是源自我这里，那在此处搜一下（或《撸题集》里搜）便可以找到。
链接是：forum.php?mod=viewthread&tid=97

kuing

第二题一看就比第一题简单（因为只需求两条切线而且没有根式），但其实有个小坑。

首先考察最小值，按照切线分析，设切点 `x_0`, `y_0`，切后的系数 `3x_0^2`, `4y_0`，常规想法自然是让它们和后面 `z` 的系数一样，即 `3x_0^2=4y_0=10/3`，解得 `x_0=\sqrt{10}/3`, `y_0=5/6`，然而，这俩数之和已经超过 `1`，`z` 要变成负数了，不行，要改。

出现上述情况意味着取等不在可行域内部，而在边界上，考虑到上述分析时 `z` 要变负数，大概就是 `z=0` 时取，那就不用和 `z` 的系数一样了，即只需 `3x_0^2=4y_0`，另外 `x_0+y_0=1`，解得 `x_0=2/3`, `y_0=1/3`，然后就可以把以上分析扔掉，开始写过程：

因为
\begin{align*}
x^3-\left(\frac43x-\frac{16}{27}\right)=\frac1{27}(3x-2)^2(3x+4)\geqslant0
&\riff x^3\geqslant\frac43x-\frac{16}{27},\\
2y^2+\frac29\geqslant\frac43y
&\riff 2y^2\geqslant\frac43y-\frac29,
\end{align*}
所以
\[f(x,y,z)\geqslant\frac43x+\frac43y+\frac{10}3z-\frac{16}{27}-\frac29\geqslant\frac43(x+y+z)-\frac{16}{27}-\frac29=\frac{14}{27},\]
当 `x=2/3`, `y=1/3`, `z=0` 时取等。

再求最大值，就不再啰嗦了，直接由 `x`, `y\leqslant1` 得
\[f(x,y,z)\leqslant x+2y+\frac{10}3z\leqslant\frac{10}3(x+y+z)=\frac{10}3,\]
当 `x=y=0`, `z=1` 取等。

业余的业余

回复 3# kuing


   非常感谢！

业余的业余

回复 2# kuing

顺便请教本坛如何搜索数学公式？

kuing

回复 5# 业余的业余

直接搜公式的代码呗，记得勾选“全文”

当然这种搜法不是百分百能精准搜到，毕竟有时各人写代码的风格不同，以及一些细节问题（如+号被看成空格（表示或）），有时也会搜不出或者搜出很多无关的东西……

业余的业余

多谢。 我试着搜了无结果，所以才问。看来要变着法子多搜几次

其妙

主楼的第二题，像某个帖子一样（求正弦、余弦的高次方和的最小值），也可以配均值（即加上一些常数），便可将$x^3$降次成$x$，将$y^2$降次成$y$，并且系数还相同！但若做不到，只要系数比$z$的系数$\dfrac{10}3$小即可。

其妙

回复 8# 其妙
还是贴一个类似题的做法，免得被人说成是水军！

kuing

回复 9# 其妙

居然有第一问提示，那难度就大大降低了……不过初赛，也罢……

敬畏数学

挺好的有提示。