求证不等式

lemondian

如果$a_1,a_2,\cdots ,a_n\inR(n\inN,且n\geqslant 2)$，且满足$a_1+a_2+\cdots+a_n=n$，则有$\dfrac{a_1}{a_1^2-a_1+2}+\dfrac{a_2}{a_2^2-a_2+2}+\cdots +\dfrac{a_n}{a_n^2-a_n+2}\leqslant \dfrac{n}{2}$.

kuing

如果$a_1,a_2,\cdots ,a_n\inR(n\inN,且n\geqslant 2)$，且满足$a_1+a_2+\cdots+a_n=n$，则有$\dfrac{a_1}{ ...
lemondian 发表于 2018-12-3 16:34

差点被你坑了，我首先尝试用柯西（因为前段时间有道类似的用柯西搞定所以第一反应就柯了），搞了一通发现不行，后来转向考虑切线法，就画了个图，猛然发现这题竟然是不成立的！！

我们来看下 `f(x)=x/(x^2-x+2)` 的图象：

可以看到它的最大值比 0.5 大一点，具体来说就是 `f\bigl(\sqrt2\bigr)>0.5`，而左边负无穷方向趋向零，那么，当 `n` 很大时，我可以让 `n-1` 个 `a_i` 都取 `\sqrt2`，剩下那一个负很大（题目范围是实数喔），`f` 它趋向零，所以整个左边趋向 `(n-1)f\bigl(\sqrt2\bigr)`，故由 `f\bigl(\sqrt2\bigr)>0.5` 可知一定存在足够大的 `n` 使左边大于 `n/2`。

kuing

一定要弄个具体的反例出来也很容易，就令
\[g(n)=(n-1)f\bigl(\sqrt2\bigr)+f\bigl(n-(n-1)\sqrt2\bigr)-\frac n2,\]
作个图，可以看到 `g(16)` 就正了，即反例为 `n=16` 且 `a_1=a_2=\cdots=a_{15}=\sqrt2`, `a_{16}=16-15\sqrt2`。

要修正的话，最简单的，加个正数条件，或者 `a_i\geqslant-2`，不过这都太容易证了。
又或者限制 `n`，在不修改实数范围的前提下，`n` 最大可以多大？这也是个问题……

lemondian

回复 3# kuing
那么改为：
（1）$a_n\inR^+$;
或（2）$2\leqslant n\leqslant 11$
可否？