一个条件代数式的求值与推广

力工

已知实数$a,b,c$满足$\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}=0$且$(7a+b+c)(a+7b+c)(a+b+7c)\ne0$，求$\dfrac{a}{7a+b+c}+\dfrac{b}{a+7b+c}+\dfrac{c}{a+b+7c}$的值
这道题应该可以推广，但没想到。

kuing

先试试把 `7` 改为 `n` 看如何。

注意到 `a+b+c-3\sqrt[3]{abc}=\bigl(\sqrt[3]a+\sqrt[3]b+\sqrt[3]c\bigr)(\cdots)`，可见条件等价于
\[a+b+c=3\sqrt[3]{abc},\]
如果 `abc=0`，则必将导致出现分母为零，所以 `abc\ne0`，而由于条件是齐次等式且所求式是零次，所以可以不妨设 `abc=1`，则 `a+b+c=3`，那么
\begin{align*}
&\frac a{na+b+c}+\frac b{a+nb+c}+\frac c{a+b+nc}\\
={}&\frac a{(n-1)a+3}+\frac b{(n-1)b+3}+\frac c{(n-1)c+3}\\
={}&\frac{2(n-1)ab+3(a+b)}{(n-1)^2ab+3(n-1)(a+b)+9}+\frac c{(n-1)c+3}\\
={}&\frac{2(n-1)+3(3-c)c}{(n-1)^2+3(n-1)(3-c)c+9c}+\frac c{(n-1)c+3}\\
={}&f(c),
\end{align*}
要使所求式为定值，即要 `f'(c)` 恒为零，而经过计算可知
\[f'(c)=\frac{3(n-7)(n-1)(n+2)^2(c-1)^2(2c+1)}{\bigl((n-1)^2+3(n-1)(3-c)c+9c\bigr)^2(nc-c+3)^2},\]
可见只有三个 `n` 能使原式为定值，分别就是 `n=7`, `n=1`, `n=-2`，其余的都不行。`n=1` 地球人都会就不说了，另外两个，由于 `f(0)=2/(n-1)`，所以当 `n=7` 时所求式为 `1/3`，这就是1楼的结果，当 `n=-2` 时所求式为 `-2/3`。

力工

再来一道恒等变形题：
实数$a,b,c$满足$(a+b+c)(\dfrac{1}{b+c-5a}+\dfrac{1}{c+a-5b}+\dfrac{1}{a+b-5c})=\dfrac{9}{5}$，求$(a+b+c)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$的值.

kuing

回复 3# 力工

很简单啊，因为对于任意非零实数 `k`，置换 `(a,b,c)\to(ka,kb,kc)` 不会改变条件及所求式，所以可以不妨设 `a+b+c=6`，则条件化为 `1/(1-a)+1/(1-b)+1/(1-c)=9/5`，去分母化简得 `4(ab+bc+ca)=9abc`，从而所求式 `=6(ab+bc+ca)/(abc)=27/2`。

推广之也同样容易，具体推导就不写了，只给结果：

若实数 `a`, `b`, `c`, `\lambda` 满足 `\lambda\ne\pm1` 且
\[(a+b+c)\left(\frac1{b+c-\lambda a}+\frac1{c+a-\lambda b}+\frac1{a+b-\lambda c}\right)=2-\frac1\lambda,\]
则有
\[(a+b+c)\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c\right)=\frac{(\lambda+1)(2\lambda-1)}{\lambda-1}.\]