三道形似的不等式证明题（若干项连加，有一项变成减）

其妙

kuing

第三个，wenku.baidu.com/view/8204e787f18583d0496459cc.html 有答案看
2012年第三届陈省身杯

kuing

第一题我记得以前也写过，可能嫌太简单就没放到撸题集里了，反正就是由2元得n元。

其妙

回复 2# kuing
能否推广

力工

第一题也是一道竞赛题，记得好象是西部赛题

其妙

第一题也是一道竞赛题，记得好象是西部赛题
力工 发表于 2018-12-13 14:36

是哪一年的西部赛题？有没有链接？有没有人解答这三道题目或三道之一题目？

游客

第一题$f(x)=(x-1)^2+1$，主要证明$f(a)f(b)≤f(ab)$；
第二题直接作差配方。

kuing

回复  kuing
能否推广
其妙 发表于 2018-12-8 14:35

很可惜，恐怕不能，因为四元就已经不成立：

设
\[f(a,b,c,d)=\left( abcd+\frac1{abcd}-1 \right)^4-\left( a^4+\frac1{b^4}-1 \right)\left( b^4+\frac1{c^4}-1 \right)\left( c^4+\frac1{d^4}-1 \right)\left( d^4+\frac1{a^4}-1 \right),\]
则
\[f\left(\sqrt[4]{\frac72},\sqrt[4]{\frac12},\sqrt[4]{\frac12},\sqrt[4]{\frac87}\right)=-\frac{19}{224}.\]
另外，取这个反例时，各括号内均为正，也就是说，即使加设“各括号内均为正”这一条件也是没用的。

hbghlyj

kuing 发表于 2018-12-8 07:02
第三个，wenku.baidu.com/view/8204e787f18583d0496459cc.html 有答案看
2012年第三届陈省身杯 ...

2. 由于原不等式左边任意两个括号的和 为正,故三个括号中至多一个非正.
因此, 不妨假设三个括号都为正.
令 $k=a b c, a^3=\frac{k x}{y}, b^3=\frac{k y}{z}, c^3=\frac{k z}{x}$.
则原式左边
$$
=\frac{\left(k^2 x+z-k y\right)\left(k^2 y+x-k z\right)\left(k^2 z+y-k x\right)}{k^3 x y z} \text {. }
$$
令 $k^2 x+z-k y=u, k^2 y+x-k z=v$, $k^2 z+y-k x=w$.
则 $x=\frac{k u+v}{k^3+1}, y=\frac{k v+w}{k^3+1}, z=\frac{k w+u}{k^3+1}$.
故原式左边
$$
=\frac{u v w\left(1+k^3\right)^3}{k^3(k u+v)(k v+w)(k w+u)} .
$$
注意到,
\begin{aligned}
& (k u+v)(k v+w)(k w+u) \\
= & \left(1+k^3\right) u v w+\left(v^2 w+w^2 u+u^2 v\right) k^2+ \\
& \left(w^2 v+v^2 u+u^2 w\right) k \\
\geqslant & \left(1+k^3\right) u v w+3 u v w k^2+3 u v w k \\
= & u v w(k+1)^3 .
\end{aligned}则原式左边
$$
\leqslant \frac{\left(1+k^3\right)^3}{k^3(k+1)^3}=\left(k+\frac{1}{k}-1\right)^3 \text {. }
$$