求三角式的最小值

lemondian

1.已知$x\in（0，\frac{\pi}{2}）$，求$y=2sin^4x+3cos^4x$的最小值。
2.已知$x\in（0，\frac{\pi}{2}）$，求$y=2sin^3x+cos^4x$的最小值。

kuing

1. CS
2. 求导

lemondian

回复 2# kuing
真简洁！

kuing

简单题何必详写

lemondian

回复 4# kuing

那么，已知$x\in（0，\frac{\pi}{2}）,A,B>0,m,n\inN,且m,n>2$，求$y=Asin^mx+Bcos^nx$的最小值。

kuing

回复 5# lemondian

就知道你会这样然而这样一变就变成高次方程没得玩，依然不用写……

其妙

第一楼的题还可以配均值（即配恰当的常数），使正弦和余弦均降为2次方，并且系数还相同，加起来就是定值啦！

其妙

回复 7# 其妙
还是贴一下解法，并且把题目出处也说出来（建议楼主以后也这样），免得说过嘴瘾

lemondian

话说,求导如何操作?

业余的业余

$\cos^4 x=(1-\sin^2 x)^2=1-2\sin^2 x+\sin^4 x$

第一个 是关于 $t=\sin^2 x \in(0,1)$ 二次函数, 容易。

第二个 令 $t=\sin x\in(0,1)$, 整理后 $y=t^4+2t^3-2t^2+1$, $y'=4t^3+6t^2-4t=2t(2t^2+3t-2)=2t(2t-1)(t+2)$, 唯一在定义域内的驻点是 $t=1/2$, 比较 $y(t=0), y(t=1/2), y(t=1)$, 最大值是函数的最大值，最小值是函数的最小值，边界处的值是极限值，不(一定)能取到。

敬畏数学

回复 10# 业余的业余
嗯，亲民解法。

业余的业余

回复 11# 敬畏数学

lemondian

回复 10# 业余的业余
谢谢！

业余的业余

回复 13# lemondian