状态方程降次问题

qcqgfmn

状态方程是x'=f(x)x+g(x)u
其中微分方程是x'=2(u+2)+(u+1)(u+2),需要对u进行降次处理才能写出g(x)的表达式
常用的降次方法比如换元法，对数法都用不了啊，咋处理，求大神帮忙！

hbghlyj

最初我以为$\enclose{horizontalstrike}{x'=2(u+2)+(u+1)(u+2)\Rightarrow x =\frac13u^3 + \frac52 u^2 + 6 u+C}$但是考虑这个问题，$\enclose{horizontalstrike}{x,u\vphantom{)}}$ 是向量。而且它们是时间的函数。所以我错了😓

刘豹 唐万生，现代控制理论，2006， 机械工业出版社
Katsuhiko Ogata, Modern Control Engineering, Fifth Edition, 2010, Pearson

2. 状态空间方程的解 Solution of State-Space Equations
4.LTI系统的受迫运动解 Solution of Inhomogeneous State Equation

有了前面的基础，我们现在考虑输入不为零的受迫运动解。考虑一般的MIMO系统（多输入多输出系统，Multiple-Input-Multiple-Output System）
\[\dot{x}=\mathbf{A}x+\mathbf{B}\mathbf{u}\\
\]
当初始时刻为 $t=0$ ，初始状态为 $x(0)$ ，求其解。

两种方法，帮助你理解它的解如何得到。

a. 我们考虑上式的Laplace变换。
\begin{aligned} & sX(s)-x(0)=\mathbf{A}X(s)+\mathbf{B}U(s) \\
& (s\mathbf{I}-\mathbf{A})X(s)=x(0)+\mathbf{B}U(s) \\
& {{(s\mathbf{I}-\mathbf{A})}^{-1}}(s\mathbf{I}-\mathbf{A})X(s)={{(s\mathbf{I}-\mathbf{A})}^{-1}}x(0)+{{(s\mathbf{I}-\mathbf{A})}^{-1}}\mathbf{B}U(s) \\
& X(s)={{(s\mathbf{I}-\mathbf{A})}^{-1}}x(0)+{{(s\mathbf{I}-\mathbf{A})}^{-1}}\mathbf{B}U(s) \\
\end{aligned}我们可以证明 \[{{L}^{-1}}[{{(s\mathbf{I}-\mathbf{A})}^{-1}}]=\mathbf{\Phi }(t)\] ，证明引用初始状态为0的齐次方程的解：\begin{aligned} & L[\dot{x}]=L[\mathbf{A}x] \\
& sX(s)-x(0)=\mathbf{A}X(s) \\
& (s\mathbf{I}-\mathbf{A})X(s)=x(0) \\
& X(s)={{(s\mathbf{I}-\mathbf{A})}^{-1}}x(0) \\
& {{L}^{-1}}[X(s)]={{L}^{-1}}[{{(s\mathbf{I}-\mathbf{A})}^{-1}}]x(0) \\
\end{aligned}于是得到\[x(t)={{L}^{-1}}[{{(s\mathbf{I}-\mathbf{A})}^{-1}}]x(0)\] ， 对比1中的自由运动解，得证。
那么继续上面受迫运动的求解：\[X(s)={{(s\mathbf{I}-\mathbf{A})}^{-1}}x(0)+{{(s\mathbf{I}-\mathbf{A})}^{-1}}\mathbf{B}U(s)\]对上式求Laplace逆变换，利用卷积定理有：\[x(t)=\mathbf{\Phi }(t)x(0)+\int\limits_{0}^{t}{\mathbf{\Phi }(t-\tau )\mathbf{B}u(\tau )d}\tau\]于是零初始条件的非齐次状态方程的解得到。
    Remark： 注意到这里我们采用Laplace的微分性质只能得到初始时刻为0时刻的解。

b. 直接求解\begin{aligned} & {{e}^{-\mathbf{A}t}}[\dot{x}-\mathbf{A}x]={{e}^{-\mathbf{A}t}}\mathbf{Bu} \\
& \int\limits_{{{t}_{0}}}^{t}{\frac{d}{dt}[{{e}^{-\mathbf{A}t}}x]}=\int\limits_{{{t}_{0}}}^{t}{{{e}^{-\mathbf{A}t}}\mathbf{Bu}(\tau )}\text{d}\tau \\
& {{e}^{-\mathbf{A}t}}x|_{{{t}_{0}}}^{t}=\int\limits_{{{t}_{0}}}^{t}{{{e}^{-\mathbf{A}t}}\mathbf{Bu}(\tau )}\text{d}\tau \\
\end{aligned}直接对上式化简\begin{aligned} & {{e}^{-\mathbf{A}t}}x(t)-{{e}^{-\mathbf{A}{{t}_{0}}}}x({{t}_{0}})=\int\limits_{{{t}_{0}}}^{t}{{{e}^{-\mathbf{A}\tau }}\mathbf{Bu}(\tau )}\text{d}\tau \\
& {{e}^{-\mathbf{A}t}}x(t)={{e}^{-\mathbf{A}{{t}_{0}}}}x({{t}_{0}})+\int\limits_{{{t}_{0}}}^{t}{{{e}^{-\mathbf{A}\tau }}\mathbf{Bu}(\tau )}\text{d}\tau \\
& x(t)={{e}^{\mathbf{A}(t-{{t}_{0}})}}x({{t}_{0}})+\int\limits_{{{t}_{0}}}^{t}{{{e}^{\mathbf{A}(t-\tau )}}\mathbf{Bu}(\tau )}\text{d}\tau \\
\end{aligned}可以验证初始时刻$t_0=0$时，与a.的结果是一致的。我们给出这个一般结论：
\[x(t)=\mathbf{\Phi }(t-t_0)x({{t}_{0}})+\int\limits_{{{t}_{0}}}^{t}{\mathbf{\Phi }(t-\tau )\mathbf{Bu}(\tau )}\text{d}\tau \\
\]

hbghlyj

qcqgfmn 发表于 2018-12-10 13:03
需要对u进行降次处理(Reduce the order)

如Computation of State-Transition Matrix所述，方法是计算2(u+2)+(u+1)(u+2)除以u的特征多项式的余式。但是您没有给出 $u$

CayleyHamilton
Example.
Reduce the order of $P(\mathbf{A})=\mathbf{A}^4+3 \mathbf{A}^3+2 \mathbf{A}^2+\mathbf{A}+\mathbf{I}$ for the matrix
$$
\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ll}
3 & 1 \\
1 & 2
\end{array}\right]
$$
Solution:
$$
\begin{aligned}
\Delta(s) & =|s \mathbf{I}-\mathbf{A}|=s^2-5 s+5 \\
\frac{P(s)}{\Delta(s)} & =\frac{s^4+3 s^3+2 s^2+s+1}{s^2-5 s+5} \\
& =s^2+8 s+37+\frac{146 s-184}{s^2-5 s+5} \\
P(s) & =\left(s^2+8 s+37\right) \Delta(s)+146 s-184
\end{aligned}
$$
or
$$
R(s)=146 s-184 .
$$
Then for the given $\mathbf{A}, P(\mathbf{A})=R(\mathbf{A})$, or
$$
\begin{aligned}
P(\mathbf{A}) & =\mathbf{A}^4+3 \mathbf{A}^3+2 \mathbf{A}^2+\mathbf{A}+\mathbf{I} \\
& =146 \mathbf{A}-184
\end{aligned}
$$