二元和为定值的不等式证明

力工

已知$x,y\geqslant 0,x+y=3$,求证：$\dfrac{9}{11}\leqslant \dfrac{x^2}{x+5}+\dfrac{y^2}{y+3}\leqslant \dfrac{3}{2}$.
题目常规，我用的是均值待定系数，和消元再求导。大神们可以露露，再有我觉得应该有几何意义。

kuing

左边 CS 一步完事就不说了，至于右边，反向往往是端点取等，所以一下就猜到 `x=0`, `y=3` 取等，于是瞬间就得到了下面的证法：因为
\[\frac{x^2}{x+3}-\frac x2=\frac{x(x-3)}{2(x+3)}\leqslant 0,\]
对 `y` 同理，所以
\[\frac{x^2}{x+5}+\frac{y^2}{y+3}\leqslant\frac{x^2}{x+3}+\frac{y^2}{y+3}\leqslant\frac x2+\frac y2=\frac32.\]

力工

证确实好证，因为这样的题见得多了，想知道大家玩的花样有多巧。有无几何上的解释。

敬畏数学

好。

kuing

像这样的既没难度又没什么特别的不等式，搞出几种有代表性的解法就够了，不必太追求多解多花样什么意义之类的，有这闲情还不如刷些其他有难度的题玩儿，话说回来，你之前那些帖我给你写的那些解答，你都弄懂了吗？

力工

谢谢k神，懂了。回复 5# kuing

其妙

可能楼主说的几何意义是想搞切、割线吧
下面给一个割线的，旨在说明kuing为何想到了与那个$\dfrac x2$作差（或许不需借用割线也会想到）