一道求椭圆内三角形面积最大值的困惑

力工

求椭圆$\dfrac{x^2}{3}+y^2=1$过右焦点的弦$AB$与左焦点$F_{1}$构成的三角形面积的最大值。
很多人直观感觉是$AB$与$x$轴垂直时，面积最大。因为$|AF_{2}|\geqslant |y_{A}|,|BF_{2}\geqslant |y_{B}|$，相加得,
$S=\dfrac{1}{2}|F_{1}F_{2}|(|y_{A}|+|y_{B}|\leqslant c|AB|$。老师分析了离心率在什么范围内时，直线的倾斜角与面积
最值的关系。我想的是如何直接说明这种解法的错误。

kuing

`S=c(|y_A|+|y_B|)\leqslant c(|AF_2|+|BF_2|)=c|AB|` 这个不等式虽然成立，但是 `|AB|` 既不是定值，也不是在垂直时最大（相反是最小，也就是 `|AB|\geqslant` 通径），所以不能得出垂直时 `S` 最大。

力工

$e\leqslant \dfrac{\sqrt{2}}{2}$时就是垂直时取最大。

kuing

回复 3# 力工

这一点与我 2# 所说的并不矛盾啊。

其妙

$e\leqslant \dfrac{\sqrt{2}}{2}$时就是垂直时取最大。
力工 发表于 2018-12-18 08:00

这种题就是$b\leqslant c$时，可以用均值（或柯西）不等式求最大值；
$b\geqslant c$时，此时垂直时最大，不可以用均值（或柯西）不等式（但等号例外，即$b=c$时例外），是不是就是这个意思？
另外，点击下面这个链接文章的中部留下了若干道高考题，查看“4．2015年浙江高考题：”及其后面的注释就知道何时能用均值（或柯西）不等式了：
mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzIxMDYxMDMxOQ==& … 51&lang=zh_CN#rd

力工

回复 5# 其妙
看来这种椭圆有玄机啊。杨师。

敬畏数学

这个不等式处理太粗糙。

其妙

回复  其妙
看来这种椭圆有玄机啊。杨师。
力工 发表于 2018-12-21 09:04

你谁呀，怎么知道我的姓

zhcosin

回复 8# 其妙