三角形的存在性问题

力工

证明：存在以$\sqrt{a^2-a+1},\sqrt{a^2+a+1},\sqrt{4a^2+3}$为边的三角形，且其面积恒定。
这是原苏联的一道竞赛题。

kuing

证三边就不说哩，证面积恒定代 `16S^2=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4-b^4-c^4` 就好了吧……

kuing

难道说，你想要一个几何解法？

游客

1、这3个数都是正数，且最后一个最大。
2、用基本不等式易证：前2数之和大于最后一数。
3、用余弦定理求最大角的余弦，进而求其正弦，最后求面积。

其妙

1、这3个数都是正数，且最后一个最大。
2、用基本不等式易证：前2数之和大于最后一数。
3、用余弦定理求最 ...
游客 发表于 2018-12-18 21:56

思路是容易的，其实，本质就是kk的面积公式。
不喜欢kk的四次方公式的话，用秦九韶公式也是蛮不错的选择。

kuing

几何方法果然瞬间了结，懒得细讲了，自己看图就明白：

其妙

1、这3个数都是正数，且最后一个最大。
3、用余弦定理求最 ...
游客 发表于 2018-12-18 21:56

2、用闵科夫斯基不等式不等式秒证：前2数之和大于最后一数。
（当然要先将前两个根号配一下方哈，或者构造向量模，由向量模不等式秒得）