有关复平面的三个问题求助

lemondian

1.在实平面上两条相互垂直的直线其其斜率互为负倒数，这一性质在复平面上是否成立？如何说明呢？
2.在实平面上，点到直线的距离公式，这一公式在复平面上是否成立？如何说明呢？
3.韦达定理，在复数域应用，要不要特别说明？

游客

那么复平面上斜率和距离的概念是怎么定义的呢?
实平面与复平面是一样的平面,只是看问题的角度不一样吧?
如果问题的意思是怎么用复数来刻画垂线与距离的话,其实就是向量公式.

lemondian

那么复平面上斜率和距离的概念是怎么定义的呢?
实平面与复平面是一样的平面,只是看问题的角度不一样吧?
如 ...
游客 发表于 2018-12-23 18:45

第一次遇到这样的问题：须要一个较严格的证明。
直线在复平面是如何表示的呢？

游客

这样的算不算啊:
$\abs{z_2-z_1}(z-z_1)±(z_2-z_1)\abs{z-z_1}=0$;
$z-z_1=λ(z_2-z_1)$.

lemondian

找到一些资料：

一、引言
用复数法来证明．求解几何问题，称其为复数几何，常庚哲教授在著[1]中系统地总结了复数几何的理论与方法 笔者在解题实践中发现，著[1]的美中不足之处是缺少直线方程的有关理论，如：复平面上的直线方程，两线（直线与直线．直线与圆）的交点，两条直线的平行与垂直的条件，点到直线的距离公式等。这不仅使复数几何的理论不够完善，而且在解一些复杂的问题时，往往难以求出有关点的复数表示，因而使复数几何的应用有很大的局限性，有鉴于此，本文将介绍复平面上直线方程的有关理论

二、直线方程
设 $z_1, z_2$ 是复平面上的不同两点，则点 $z$ 在这两点确定的直线上，当且仅当
\[
\arg \frac{z- z_1}{z_2-z_1}=0 \text { 或 } \pi,
\]
这又等价于 $\frac{z-z_1}{z_2-z_1}$ 为实数，
即 $\frac{z-z_1}{z_2-z_1}=\frac{\bar{z}-\overline{z_1}}{\overline{z_2}-\overline{z_1}}$
即$$z-z_1=\frac{z_2-z_1}{\overline{z_2}-\overline{z_1}}\left(\overline{z} -\overline{z_1}\right)\tag1$$
方程（1）就是由两点 $z_1, z_2$ 所确定的直线方程，其中
\[
k=\frac{z_2-z_1}{\overline{z_2}-\overline{z_1}}
\]
称为这条直线的（复）斜率，注意到 $|k|=1$，方程
（1）可写成
\[
z-z_1=K\left(\overline{z}-\overline{z_1}\right) \quad(|K|=1)
\]
2 两条直线的平行与垂直
定理 1 设直线 $l_1,l_2$ 的（复）斜率分别为 $K_1$ 及 $K_2$，则
（1） $l_1\px l_2 \Rightarrow k_1=k_2$
（2） $l_1 \perp l_2 \Leftrightarrow k_1=-k_2$
证 分别在 $l_1$ 与 $l_2$ 上各取不同两点 $z_1, z_2$ 及 $z_1^{\prime}, z_2^{\prime}$ ，则
$l_1 \px l_2 \Leftrightarrow \arg \frac{z_2-z_1}{z_2'-z_1'}=0$ 或 $\pi$，这又等价于
$\frac{z_2-z_1}{z_2'-z_1'}$ 为实数，
即 $\frac{z_2-z_1}{z_2'-z_1'}=\frac{\overline{z_2}-\overline{z_1}}{\overline{z_2'}-\overline{z_1'}}$
即 $\frac{z_2-z_1}{\overline{z_2}-\overline{z_1}}=\frac{z_2'-z_1'}{\overline{z_2'}-\overline{z_1'}}$
即 $k_1=k_3$

---

3 点到直线的距离
定理 2 点 $p$ 到直线 $l:z-z_0=K\left(\bar{z}-\bar{z}_0\right)(|K|=1)$ 的距离为
\[
d=\frac{1}{2}\left|p-z_0-K\left(\overline{p}-\bar{z_0}\right)\right|
\]
证 直线 $l$ 的方程为
\[
z-z_0=K\left(\bar{z}-\bar{z_0}\right)
\]
过点 $p$ 垂直于 $l$ 的直线方程为
\[
z-p=-K(\overline{z}-\overline{p})
\]
将以上两方程相加，可得点 $p$ 在 $l$ 上的射影 $z_1$ 为
\[
z_1=\frac{1}{2}\left[z_0+p+K\left(\overline{p}-\overline{z_0}\right)\right]
\]
因此 $d=\left|p-z_1\right|=\frac{1}{2}\left|p-z_0-K\left(\bar{p}-\bar{z}_0\right)\right|$

---

如何证明：$l_1\perp l_2 \iff k_1=-k_2$?

lemondian

依上面的资料：
（1）在复平面上，直线 $A B$ 的斜率为 $k_{A B}$，点 $P\left(x_0, y_0\right)$，坐标原点为 $O$，若 $O P \perp A B$，则 $k_{A B} \cdot k_{O P}=-1$；
（2）在复平面上一点 $P\left(x_0, y_0\right)$，过点 $P$ 的直线 $l: y-y_0=k\left(x-x_0\right)$，即 $k x-y-\left(k x_0-y_0\right)=0$，则原点到直线 $l$ 的距离为 $d=\frac{\left|k x_0-y_0\right|}{\sqrt{k^2+1}}$。
（1），（2）的表述是否正确？

lemondian

也有这样：过复平面中相异两点z1,z2的直线方程的复数形式为：
z=z1+t(z2-z1), t∈R
那么用这个如何说明：
（1）$l_1⊥l_2$⟺$k_1k_2=-1$?
（2）点到直线的距离公式？

游客

这个k跟那个k的意思又不一样，打印错误还很多，应该是网文，不是印刷品吧？

lemondian

复平面上直线方程的形式为 $\bar{a} z+a \bar{z}+c=0$ ，其中 $a$ 是非零复数，$c$ 是实常数。
证明：设 $z=x+y i$ ，则 $\bar{z}=x-y i$，从而
\[
\bar{a} z+a \bar{z}+c=0 \Leftrightarrow \bar{a}(x+y i)+a(x-y i)+c=0
\]
即 $(a+a) x+(a-a) yi+c=0 \Leftrightarrow A x+B y+C=0$ 表示直线方程。
这里 $A=(a+a), B=(a-a) i, C=c$ 显然都是实常数。
这样的话：
（1）$l_1 \perp l_2 \Leftrightarrow k_1 \cdot k_2=-1$
（2）点 $P\left(x_0, y_0\right)$ 到直线 $A x+B y+C=0$ 的距离是 $d=\frac{\left|Ax_0+B y_0+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

lemondian

这个k跟那个k的意思又不一样，打印错误还很多，应该是网文，不是印刷品吧？ ...
游客 发表于 2018-12-24 08:43

是网上的PDF文件，我没改，只是截图了，是有些符号上的错误。

9#是我自已写的，不知这样是否可行？

zhcosin

回复 2# 游客
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lemondian

非实数系数的一元二次方程，是否存在韦达定理？若存在，如何证明？
找了好久，没有找到相关资料

lemondian

非实数系数的一元二次方程，是否存在韦达定理？若存在，如何证明？
找了好久，没有找到相关资料 ...
lemondian 发表于 2018-12-24 10:37

（3）对于不全是实数的一元二次方程 $a x^2+b x+c=0$ 的几个结论：

• 判别式失效；
• 求根公式，韦达定理仍然适用，但根不一定是共轭复数。

都这样说，找不到证明！