椭圆的焦点三角形有关的不等式

lemondian

1.如图，在点$N（-c,0），M（c,0）$分别是椭圆的左，右焦点，AB为过点N的弦。设$R_1,R_2,R$分别为$ \triangle AMN, \triangle BMN, \triangle ABM$的外接圆半径，$e$为椭圆的离心率。求证：$\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}\leqslant \dfrac{1+e^2}{eR}$.
2.如果$r_1,r_2,r$分别为$ \triangle AMN, \triangle BMN, \triangle ABM$的内切圆半径，$e$为椭圆的离心率。则有没有类似的不等式？

kuing

引理：在三角形中，有 `2R\cdot h_a=bc`。
引理的证明1：由面积公式得 `2R=abc/(2S)=abc/(ah_a)=bc/h_a`。
引理的证明2：如下图，显然两直角三角形 `ABD` 和 `AEC` 相似，即得引理。


回到原题，设 `NA=x`, `NB=y`, `\angle ANM=\theta`，如下图：

由正弦定理得
\[\frac1{2R_1}+\frac1{2R_2}=\frac{\sin\theta}{2a-x}+\frac{\sin\theta}{2a-y},\]
由引理得
\[\frac1{2R}=\frac{2c\sin\theta}{(2a-x)(2a-y)},\]
于是原不等式等价于
\[\frac1{2a-x}+\frac1{2a-y}\leqslant\frac{1+e^2}e\cdot\frac{2c}{(2a-x)(2a-y)},\]
去分母即
\[4a-x-y\leqslant\frac{1+e^2}e\cdot2c,\]
也即
\[x+y\geqslant4a-\frac{1+e^2}e\cdot2c=2a-\frac{2c^2}a=\frac{2b^2}a,\]
熟知有结论 `1/x+1/y=2a/b^2`，所以上式等价于
\[x+y\geqslant\frac4{1/x+1/y},\]
显然成立，即得证。

kuing

刚才又笨了，居然用了张角定理，幸好及时发现用引理就简单多了。

isee

回复 3# kuing
\[x+y\geqslant4a-\frac{1+e^2}e\cdot2c=2a-\frac{2c^2}a=\frac{2b^2}a,\]
右边简化之后竟然是通径。

kuing

回复 4# isee

哦，我竟然把通径表达式给忘了，完全没想起来，反而想起了1/x+1/y那结论，还是有点儿笨
或者说，我又把焦点弦>=通径给证了一遍……

lemondian

谢谢两位！
原来还可得到通径，好久不用这个东东了

kuing

至于你说改为内切圆的，那就更简单了，直接有等式
\[r_1+r_2=\frac{2r}{1+e}.\]
证明自己写。

mowxqq

以$N$点为极点，$x$轴正方向为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为
\[\rho=\dfrac{ep}{1-e\cos\theta}\]
令$\angle ANM=\theta(0<\theta<\pi)$,则$AN=\dfrac{ep}{1-e\cos\theta},BN=\dfrac{ep}{1+e\cos\theta},AB=\dfrac{2ep}{1-e^2\cos^2\theta}$,
所以
\[\dfrac{R}{R_1}+\dfrac{R}{R_2}=\dfrac{BM}{2c}+\dfrac{AM}{2c}=\dfrac{4a-AB}{2c}\]
即
\[\dfrac{R}{R_1}+\dfrac{R}{R_2}=\dfrac{2a-\dfrac{ab^2}{a^2-c^2\cos^2\theta}}{c}\in\left(\dfrac{1}{e},\dfrac{1}{e}+e\right]\]

kuing

回复 8# mowxqq

nice