求四面体体积的最大值。

lemondian

已知在四面体A-BCD中，AD=DB=AC=CB=1,求此四面体的体积最大值。

kuing

很简单啊，显然一定是两等腰三角形垂直时最大，于是设 `AB=2x` 得 `V\le x(1-x^2)/3\le2\sqrt3/27`。

业余的业余

回复 1# lemondian

不妨设 $\angle ABC=\alpha,$ 二面角 $C-AB-D$ 为 $\beta$, 则 $S_{\triangle ABC}=\sin \alpha \cos \left(\cfrac \alpha 2\right)$， D 到 平面 $ABC$ 的距离 $\sin \alpha \sin\beta$

$V= \cfrac 13 \sin^2 \alpha \cos \alpha \sin \beta$

显然 最大值在 $\beta=90^\circ$ 时取得，此时

$V(\alpha)= \cfrac 13 \sin^2 \alpha \cos \alpha= \cfrac 13(1-\cos^2  \alpha )\cos\alpha $

令 $x= \cos\alpha$, 则 $V(x)=\cfrac 13(x-x^3), x\in(0,1)$

求导，已知唯一有效的驻点是 $x^2=\frac 13$, 根据问题的性质已知此为最大值点，代入得 $V_{max}=\cfrac {2\sqrt{3}}{27}$

kuing直接设边, 少走了很多路 :(

lemondian

回复 3# 业余的业余
嗯，谢谢了！
求最值好象可以用均值不等式的。

不知是否还有其它方法？

lemondian

回复 2# kuing
就是怎么想到这个：显然。。。
这个是关键呀

kuing

回复 5# lemondian

你想象一下图形啊，把AB固定然后把二面角张合一下不就知道了

lemondian

回复 6# kuing
对的，开始弄时，主要是可变的东西多，有点乱

敬畏数学

回复 3# 业余的业余
与实际想象的图像直观解法一致，两变量独立！

isee

看来楼主广州的，这是广州12月调研第16题。

业余的业余

回复 4# lemondian

不等式这块我比较弱。这是个 $a,b>0, a^2+b=1$, 求 $ab$ 最值的问题。我一直在想 kuing 是怎么用不等式直接求解的。撸题集看了一阵，难度蛮大，欠账太多。

想明白了: $a^2+b=a^2+\frac b2+\frac b2\geqslant 3\sqrt[3]{a^2b^4/4}$.

hbghlyj

该页面直至今天2月被某个繁体中文的网站收录. 该网站已挂, 被人重定向到手机约会软件了.

kuing

hbghlyj 发表于 2023-3-14 02:01
该页面直至今天2月被某个繁体中文的网站收录. 该网站已挂, 被人重定向到手机约会软件了.
...

看到你这句，我想起了这帖：请勿点击《撸题集》第六章第一节内的链接
如今再点击那章节的链接（irgoc.org）已经不会跳到不可描述的页面了，只是提示过期，也就是当时被重新注册的网站后来也挂了（在 Wayback Machine 里查了下，直到去年 7 月底还是 H 的）。