一道指对数恒成立问题

敬畏数学

$ xe^x-lnx+(1-b) x\geqslant 1$对任意$x>0$恒成立，则b的范围-------？
$ b-1\leqslant e^x-\frac{lnx}{x}-\frac{1}{x}(x>0) $,设$ g(x)= e^x-\frac{lnx}{x}-\frac{1}{x}(x>0)$,$\frac{d(g(x))}{dx}=\frac{x^2e^x+lnx}{x^2}$,设$h(x)=x^2e^x+lnx$,显然$x>0$此函数为增函数，h(x)有唯一零点$ m $，满足$  m^2e^m+lnm=0$,g(x)的最小值为$g(m)=e^m-\frac{lnm}{m}-\frac{1}{m}$,$ m^2e^m+lnm=0$变形为$  me^m=-\frac{lnm}{m}$,即为：$me^m=-lnm*e^{-lnm}$,显然函数$k(m)=me^m(m>0)$为增函数，故有：$m=-lnm(m>0)$,代入最小值$g(m)=e^m-\frac{lnm}{m}-\frac{1}{m}=1$，即$b-1\leqslant 1$,得到：$ b\leqslant 2$ 即为所求#

kuing

核对一下题目，否则要扔掉

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感觉此题转得厉害，高手有其他解法？等待，先谢！

kuing

哦，是我错了，原来零点不用求，我一看驻点是超越的（ ProductLog[1] ）就以为要扔了，又渣了一回……

kuing

回复 3# 敬畏数学

其他方法恐怕又要用到 `xe^x=e^{x+\ln x}\geqslant x+\ln x+1` 这招了，这样应该瞬间就得到答案了，细节懒得写，反正想起这招之后一切都不重要了。

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回复 5# kuing
哈哈！果真秒掉啊！
$ g(x)= e^x-\frac{lnx}{x}-\frac{1}{x}(x>0)=\frac{1}{x}(xe^x-lnx-1)=\frac{1}{x}(e^{x+lnx}-lnx-1)\geqslant $,由于$e^{x+lnx}\geqslant x+lnx+1$

isee

难得楼主写个有过程的问题。

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回复 1# 敬畏数学
类似
forum.php?mod=viewthread&tid=4030#pid17569

敬畏数学

类似再证明：若$ a\leqslant 1 $，证明：$ \frac{lnx}{x-1}>\frac{a(x+1)}{e^x} $;只需证$ \frac{lnx}{x-1}>\frac{x+1}{e^x},x>1$,即证：$ lnx>\frac{x^2-1}{e^x},x>1$，下面设g(x)=$ lnx-\frac{x^2-1}{e^x},x>1$.对于0<x<1,利用：$ lnx<x-1,e^x>x+1 $类似太多：$ a>0,xe^{ax}-lnx-bx\geqslant 1$对于x恒成立 ，则：$b\leqslant a$
类似：$ xe^{2x} -kx-1-lnx\geqslant 0$恒成立，$ kx\leqslant xe^{2x} -1-lnx\ = e^{lnx+2x}-1-lnx\leqslant 2x$,即$ k\leqslant 2 $