积和为定值的不等式

力工

已知非负数$a,b,c$满足$ab+bc+ca=1$，求证：$\dfrac{2}{a^2+1}+\dfrac{2}{b^2+1}+\dfrac{3}{c^2+1}\geqslant 4$.
分子不对称，如何求解？正切代换吗？求大神们指点。

kuing

已知非负数$a,b,c$满足$ab+bc+ca=1$，求证：$\dfrac{2}{a^2+1}+\dfrac{2}{b^+1}+\dfrac{3}{c^2+1}\geqslant 4$.
分子不对称，如何求解？正切代换吗？求大神们指点。
力工 发表于 2019-1-3 21:57

第二个分母是怎么回事？

kuing

如果第二项也是 `\dfrac{2}{b^2+1}` 的话，正切代换应该可以处理啊，你自己试过没有？

kuing

呵呵，我用齐次化的方法试了一下之后发现：
如果第二项也是 `\dfrac{2}{b^2+1}` 的话，那么第三项的分子 3 完全是为了坑人的，因为它完全可以直接放缩为 2，即：
\begin{align*}
&\frac2{a^2+1}+\frac2{b^2+1}+\frac3{c^2+1}\\
\geqslant{}&\frac2{a^2+1}+\frac2{b^2+1}+\frac2{c^2+1}\\
={}&\frac2{(a+b)(a+c)}+\frac2{(b+c)(b+a)}+\frac2{(c+a)(c+b)}\\
={}&\frac{4(a+b+c)(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\\
\geqslant{}&4.
\end{align*}

力工

回复 4# kuing
晕死，把$b^2+1$输成了$b+1$，只输了$^$,2掉了 。感谢k大神！

业余的业余

牛

敬畏数学

其实此题不难的。把已知的C解出来（消去c），代入要求证明式子，简单分析法就出来了。有时就老想套路，哎。对称是么子意思啊。

敬畏数学

貌似又有一个miss.

kuing

回复 8# 敬畏数学

啥意思……？

其妙

其妙

陕西李歆老师解答

kuing

回复 10# 其妙

嗯，加上求最大值这个 3 才有存在的价值，否则就太XX了，不过不管怎样，题还是太简单，没玩头……