一种有趣的线性不等式

yao4015

证明对任意实数 $a,b,c$, 下面的不等式成立
$$\min(4a+2c, 4b+2a, 4c+2b)\leq \min(3a+2b+c,3c+2a+b,3b+2c+a).$$

kuing

两边同时减去 `2a+2b+2c` 可知原不等式等价于
\[2\min(a-b,b-c,c-a)\leqslant\min(a-c,c-b,b-a),\]
注意到
\[\min(a_1,a_2,\ldots,a_n)=-\max(-a_1,-a_2,\ldots,-a_n),\]
所以原不等式等价于
\[2\min(a-b,b-c,c-a)+\max(a-b,b-c,c-a)\leqslant0,\]
令 `x=a-b`, `y=b-c`, `z=c-a`，则 `x+y+z=0`，上式即
\[2\min(x,y,z)+\max(x,y,z)\leqslant x+y+z,\]
这是显然的，即得证。

按照此法，还可以编出类似的 `n` 元不等式来。

游客

通过对2楼学习，感觉这个就是考查“视力”的题：
$min\{4a+2c,4b+2a,4c+2b\}=2min\{2a+c,2b+a,2c+b\}$

$=2min\{2a+c,2b+a,2c+b\}+max\{2a+c,2b+a,2c+b\}-max\{2a+c,2b+a,2c+b\}$

$\le(2a+c)+(2b+a)+(2c+b)-max\{2a+c,2b+a,2c+b\}$

$=3(a+b+c)-max\{2a+c,2b+a,2c+b\}$

$=min\{(3a+3b+3c)-(2a+c),(3a+3b+3c)-(2b+a),(3a+3b+3c)-(2c+b)\}$

$=min\{a+3b+2c,2a+b+3c,3a+2b+c\}$.

把2楼第4行一般化就是：
$min_k\{a_n\}+max_k\{m-a_n\}=m$.

"$min_k\{a_n\}$"表示“把$\{a_n\}$从小到大排序后的第k项","$max_k\{a_n\}$"表示“把$\{a_n\}$从大到小排序后的第k项".

kuing

回复 3# 游客

是需要观察，不过这个题的观察还是挺容易的吧，一方面轮换，二方面它们的“平均”都是 2a+2b+2c ，于是果断减掉它就好办多了。后面 min、max 的转换就需要随机应变了，我第一反应还想过讨论，后来才发现转换一下就显然了。这种题我也是第一次见，感觉还挺好玩。

isee

回复 3# 游客

公式进步很多，不容易。。。。。不过呢，数学中的函数等符号是“特殊”的，如sin cos max min ln 等等都是一体的，“特殊字符”tex处理要加\（反斜杠）
\sin\alpha,\max,\ln x，（两端加上美元符号）就看到效果是不同的了。

isee

回复 2# kuing

好不容易看到个你说的“这是显然的”，我真是轻易看懂的。。。。

isee

有点意思的编题

yao4015

题目是我自己编的,  它来源于下面熟知的不等式
\begin{align}
\color{blue} {\sum_{cyc} x^4z^2\geq \sum_{cyc}x^3y^2z }.
\end{align}
令 $x=t^a, y=t^b, z=t^c$, 上面的不等式就成为
$$\sum_{cyc} t^{4a+2c}\geq \sum_{cyc} t^{3a+2b+c}.$$
这样立刻得到 (否则(1)会不成立的)
\begin{align}
\min(4a+2c, 4b+2a, 4c+2b)\leq \min(3a+2b+c,3c+2a+b,3b+2c+a),\\
\max(4a+2c, 4b+2a, 4c+2b)\geq \max(3a+2b+c,3c+2a+b,3b+2c+a).
\end{align}

也就是说, 任给一个多变量多项式不等式, 都可以得到两个类似
的线性不等式. 贴在这里, 仅供娱乐.

kuing

原来是这样编的，有点意思

游客

对于8楼，如果（1）能得到（2），那么（2）也能得到（1），这样不就给证明不等式提供了一种非常简单有效的方法了？

kuing

回复 10# 游客

反过来推不出吧？

游客

回复 11# kuing


    那么由（1）怎么“显然”得到（2）的呢？我就是没明白这个。

色k

回复 12# 游客

已知不等式恒成立，所以t无穷大时也成立，因此左边的次数不小于右边的次数，这样就有max的那个，令t=1/t同理得min的

（爪机回复）

yao4015

回复 10# 游客

一般来说 (2) 是不能得到 (1) 的. 事实上 (2) 反映的是(1)的一些局部性质. 举个例子吧. 考虑
$$x^2+y^2-3xy$$
令 $x=t^a,y=t^b$, 则
$$x^2+y^2-3xy=t^{2a}+t^{2b}-3t^{a+b}.$$
虽然很容易证明
$$\min(2a, 2b)\leq a+b.$$
但是 $x^2+y^2-3xy\geq 0$ 并不成立.  这里一个关键的地方是等式 $\min(2a, 2b)=a+b$, 会让最低次项的系数变成负数.

要想从类似(2)出发推出(1)来需要考虑许多这样的细节. 将局部性质粘合成整体性质, 这样做当然是可以的, 但是并不一定就简单.

游客

\begin{aligned}
& \text { 若 } \min \{x, m-x\} \leq \min \{y, m-y\},(a>0) \\
& \text { 不妨令 } x \leq y \leq \frac{m}{2} \leq m-y \leq m-x \text {, 则: } \\
& a^x \leq a^y \leq \sqrt{a^m} \Rightarrow a^x+a^{m-x} \geq a^y+a^{m-y} \\
& \text { 或 } a^x \geq a^y \geq \sqrt{a^m} \Rightarrow a^x+a^{m-x} \geq a^y+a^{m-y} \text { 。 }
\end{aligned}