巫克兰解三角形试题

力工

等腰三角形$ABC$中，$AB=AC$，如果$\dfrac{AB}{BC}=1+2cos\dfrac{π}{7}$，求三角形的各内角值。

kuing

不就是 `\angle B=\angle C=\arccos\dfrac1{2+4\cos(\pi/7)}` 么？必须要继续化简？
感觉很难再化得更简了吧，你有没有抄错题？？或者给出更具体的来源，哪一年巫（乌）克兰的啥竞赛？
撸你发的题总要特别小心，必须多问一遍

力工

回复 2# kuing


    是2017年的，关键是需要$B,C$的最简表示结果。

hejoseph

抄错题目了，应该是$AB/BC=1+2\cos(2\pi/7)$。

kuing

回复 4# hejoseph

这样就能化简了
果然楼主的帖还是少碰为妙

敬畏数学

回复 5# kuing
抄错题现象纠正方法：1、自己写题；2、用心抄题，抄错题类似很多神人经常运算出错，令人苦恼！

力工

是别人给我的手抄本，我化不出所以请教大神们。现在我才知道不是姓乌的题，是姓波(黑)的题。

其妙

试题来源和几个人的解答：


善用联想简解2017波黑奥林匹克三角形问题

河南省许昌长葛市 丁位卿

题目：等腰三角形 $ABC$ 中，$AB=AC$，如果 $\frac{AB}{BC}=1+2\cos\frac{\pi}{7}$，求三角形 $ABC$ 的各个内角。

解：设 $\alpha = \frac{\pi}{7}$，则由已知条件得
\[
\frac{AB}{BC} = \frac{AC}{BC} = 1 + 2\cos\frac{2\pi}{7} = 1 + 2\cos 2\alpha = 3 - 4\sin^2\alpha.
\]
联想到三倍角正弦公式 $\sin 3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha$，得
\[
\frac{\sin 3\alpha}{\sin\alpha} = 3 - 4\sin^2\alpha,
\]
则有
\[
\frac{AB}{BC} = \frac{AC}{BC} = \frac{\sin 3\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin\frac{3\pi}{7}}{\sin\frac{\pi}{7}} = \frac{\sin\frac{4\pi}{7}}{\sin\frac{\pi}{7}}.
\]
另一方面，由正弦定理得
\[
\frac{AB}{BC} = \frac{AC}{BC} = \frac{\sin C}{\sin A} = \frac{\sin B}{\sin A}.
\]
比较上述两式，有如下两种情形：

• 若 $\angle B = \angle C = \frac{4\pi}{7}$，因为 $\angle B + \angle C = \frac{8\pi}{7} > \pi$，与三角形内角和定理矛盾，故排除此种情况；
• 当 $\angle B = \angle C = \frac{3\pi}{7}$，$\angle A = \frac{\pi}{7}$ 时，满足 $\angle A + \angle B + \angle C = \pi$ 及原题已知条件。

故三角形 $ABC$ 三个内角的大小为
\[
\angle A = \frac{\pi}{7}, \quad \angle B = \angle C = \frac{3\pi}{7}.
\]
评注：由 $3 - 4\sin^2\alpha$ 联想到三倍角正弦公式，由此将三角形两边之比化为两个确定角的正弦之比，再用正弦定理化边之比为对应角的正弦之比，最后通过观察比较轻松求出三角形的三个内角，解法简单。简单解法源于联想，联想出奇招！

kuing

显然
\[\cos\frac{0\pi}7+\cos\frac{2\pi}7+\cos\frac{4\pi}7+\cdots+\cos\frac{12\pi}7=0,\]得
\[1+2\left( \cos\frac{2\pi}7+\cos\frac{4\pi}7+\cos\frac{6\pi}7 \right)=0,\]头尾和差化积后
\[1+2\cos\frac{4\pi}7+4\cos\frac{4\pi}7\cos\frac{2\pi}7=0,\]即得
\[2+4\cos\frac{2\pi}7=\frac1{\cos(3\pi/7)},\]所以 `B=C=3\pi/7`。