请教：圆与圆锥曲线的交点问题

shidilin

①椭圆与一个圆有三个交点，则其中必有一个交点，是椭圆与圆的切点
②抛物线，双曲线是否也具有类似的性质？谢谢！

游客

回复 1# shidilin


    一个圆洞，从一个地方进去，从另一个地方出来，那么就是2个公共点。
不然的话，不是在洞里碰瓷，就是在洞外碰瓷，或者两不相干。

hejoseph

设 $ab\neq 0$，由 $ax^2+by^2=1$ 与 $(x-u)^2+(y-v)^2=r^2$（$v\neq 0$）可得 $y=-((a-b)x^2+2bux-b(u^2+v^2-r^2)-1)/(2bv)$，$u=0$ 或 $v=0$ 时的情形很容易讨论。$ax^2+by^2=1$ 与 $(x-u)^2+(y-v)^2=r^2$ 消去 $y$。当$a\neq b$ 时得到的是一个关于 $x$ 的四次方程，若只有三个不同解，说明必定有一个重根，此时就对应相切的情形。当$a=b$ 时得到的是一个关于 $x$ 的二次方程。
同样，设 $p\neq 0$，由 $x^2=2py$ 得 $y=x^2/(2p)$，$x^2=2py$ 与 $(x-u)^2+(y-v)^2=r^2$ 消去 $y$，得到的是一个关于 $x$ 的四次方程，若只有三个不同解，说明必定有一个重根，此时就对应相切的情形。

shidilin

感谢楼上两位的答复！