妙解藏"喵腻"

力工

求使$2^8+2^{11}+2^n$为平方数的自然数$n$.
有人解这道题这样妙解的：设$2^4=x$,则问题为关于$x$的三项式$x^2+2^7x+2^n$有整数解，
所以，它的判别式$Δ=(2^7)^2-4×2^n=0，n=12$.
让Ta设$2^5=x$，如法炮制，哑火了。

isee

回复 1# 力工

这跟换元没太多关系，直接设$$2^8+2^{11}+2^n=\left(2^4+2^k\right)^2.$$

kuing

记 `A=x^2+px+q`（各字母均为整数），若 `p^2-4q=0`，则 `2\mid p`，此时 `A=(x+p/2)^2`，
即：$p^2-4q=0\riff A$ 为平方数。但是反之则不然，比如说 `1^2+1\times1+2` 是平方数，但 `1^2-4\times2<0`。

也就是说，对于首一二次三项式，判别式为零是判断平方数的一个充分但不必要条件，
因此 1# 的解法虽然能快速找到一个符合条件的 `n`，但会不会有漏解，还不知道。
当然，题目好像也没有要求所有解，也就罢了。

isee

回复 3# kuing


还是你“狠”，至少是针对主楼说的。

kuing

至于为什么设 `2^5=x` 不行，是因为这时式子变成 `2x^2+2^3x+2^n`，首项系数不是平方数，所以即使判别式为零也不能得出它是平方数。

kuing

回复 4# isee

因为我一看这解法当时也一头雾水，也是细想了下才搞明白了。

游客

$$2^8+2^{11}+2^n=48^2+2^n=y^2$$
$$(y-48)(y+48)=2^n$$

hejoseph

isee

回复 8# hejoseph


原来是数论~

力工

感谢各路大神各方位指点！

睡神

$2^8+2^{11}+2^n=2^8*(1+2*1*2^2+2^{11-n})$
$11-n=4$
$n=12$