求证$e^x ((\ln x)^2+3\ln(x)+3)-3x^2>0$

isee

高三模拟题，求证：$$\forall x>0,\mathrm e^x ((\ln x)^2+3\ln(x)+3) -3x^2>0.$$

临场，非临场，都搞不定，求教。

附原题——

kuing

这个不等式，又丑，又松，真是太…………

分类讨论即可：

当 `x>1` 时，熟知 `e^x>x^2`，所以显然成立；

当 `x<1/2` 时，因为 `t^2+3t+3\geqslant3/4`，所以左边 `>3/4-3x^2>0`；

当 `x\in[1/2,1]` 时，有 `-0.7<-\ln2\leqslant\ln x\leqslant0`，得 `\ln^2x+3\ln x+3>0.7^2-3\times0.7+3=1.39>6/5`，所以只需证 `e^x>2.5x^2`。
令 `g(x)=\sqrt{e^x}-\sqrt{2.5}x`, `x\in[1/2,1]`，则 `g'(x)=\sqrt{e^x}/2-\sqrt{2.5}\leqslant\sqrt e/2-\sqrt{2.5}<0`，所以 `g(x)\geqslant g(1)=\sqrt e-\sqrt{2.5}>0`，所以 `e^x>2.5x^2`。

综上得证。

isee

回复 2# kuing

原来这样的“松”不等式，可首选分段喽。

游客

isee

回复 4# 游客

这图是说可以将3x^2改成7x^2吧。。。。

敬畏数学

回复 4# 游客
可以画图吗？