有关内心、内接圆

hbghlyj

I为内心，AH为高，AI交BC于E，交外接圆于M，F在直线BC上，FM⊥AM，MH再次交外接圆于D，求证：∠IDE=∠IFM

如何证明？

乌贼

设$ MF $与圆的另一交点为$ N $，$ AN $为圆直径。

第一步：先证$ NED $三点共线\[ \angle DHC=\angle DAC+\angle MAB=\angle DAC+\angle MAC=\angle DAE \]即$ ADHE $四点共圆，有\[ \angle ADE=\angle AHE=90\du  \]所以有$ NED $三点共线。
第二步：证明$ \angle MIN=\angle MFI $\[ \triangle MNC\sim \triangle MCF\riff MI^2=MC^2=MN\cdot MF\riff\triangle MIN\sim \triangle MFI\riff\angle MIN=\angle MFI \]
第三步：证明$ \angle NIE=\angle NDI $(烦人的计算)
\[ IN^2=MN^2+IM^2=EN^2-EM^2+CM^2=EN^2-EM^2+ME\cdot MA=EN^2-EM^2+ME^2+ME\cdot EA=EN^2+ME\cdot EA=EN^2+NE\cdot ED=EN(NE+ED)=EN\cdot ND \]得\[ \triangle INE\sim \triangle DNI\riff\angle IDE=\angle NIM \]
综上有\[ \angle MFI=\angle MIN=\angle IDE \]
哪的题？

乌贼

省掉计算，设$ MF $与圆另一交点为$ N $，$ AN $即为圆直径，$ P $为$ FM $与$ AD $延长线交点。
第一步：先证$ NED $三点共线，见上楼
第二步：证明$ \triangle AFP $为等腰三角形且$ AP=AF $。\[ \triangle MNC\sim \triangle NCF\riff\angle MFC=\angle MCN=\angle MAN \]即$ AENF $四点共圆，有\[ \angle FAM=\angle MNE=\angle MAD\riff\triangle MFA\cong \triangle MPA\riff AF=AP \]第三步：证明$ DPNI $四点共圆。\[ \triangle MNC\sim \triangle MCF\riff MI^2=MC^2=MN\cdot MF\riff\triangle MNI\sim \triangle MIF\riff\angle MNI=\angle MIF\riff\angle MIN+\angle MNI=\angle MIN+\angle MIF=\angle MIN+\angle MIP=90\du  \]又\[ \angle NIP=\angle NDP=90\du  \]故$ DPNI $四点共圆。
综上\[ \angle IFM=\angle IPM=\angle IDE \]