一道初中几何综合题

wzyl1860

题：已知正三角形$ABC$，点$D$在$BC$延长线上，连接$AD$，$E$为$AD$上一点，$AE=AC$，连接$BE$交$AC$于$F$，若$AF=2ED=3$，则线段$CF$的长为_____.

kuing

我发现我平几越来越渣了，看了半天都想不出简单方法，只会 暴 力 计算……


如图，设圆半径为 `r`，则 `r=a+x`，由梅氏定理有
\[\frac ax\cdot\frac ry\cdot\frac br=1\iff xy=ab,\]（也可由 `a:x=\sin\angle FBA:\sin\angle FBC=\sin\angle BED:\sin\angle FBC=y:b` 得到 `xy=ab`）
由割线定理有
\[(y-r)y=b(b+2r),\]
故
\[\left( \frac{ab}x-a-x \right)\frac{ab}x=b(b+2a+2x),\]
去分母并因式分解得
\[(x+a)(2x^2+ax+bx-ab)=0,\]
解得
\[x=\frac{\sqrt{a^2+10ab+b^2}-a-b}4,\]
此题中 `a=3`, `b=3/2`，代入得 `x=3/4`。

isee

解：不将就初中，设$BD=a$，$CF=x$，则$AE=AC=AB=BC=x+3$，在三角形$ABD$中用余弦定理有$$\left(x+\frac 92\right)^2=(x+3)^2+a^2-(x+3)a,$$(初中就作出三角形$ABC$边$BC$上的高，垂直为$G$，在三角形$AGD$中用勾股定理).

在三角形$ACD$中，由 Melelaus 定理（否则，过点$D$之类，作$AC$平行线交$BE$延长线于$G$，由平行，相似)求得$$\frac a{x+3}\cdot\frac x3\cdot\frac {x+3}{3/2}=1\Rightarrow a=\frac 9{2x},$$

于是$$\left(x+\frac 92\right)^2=(x+3)^2+\left(\frac 9{2x}\right)^2-(x+3)\cdot \frac 9{2x},$$整理得$$4x^3+21x^2+18x-27=0，$$此方程经过观计算，发现有一根为$x=-3$（如何猜的呢，如果$x$是整数，则$x$定是 3 的倍数，总之运气成份居多）,于是可变形为$$(x+3)^2(4x-3)=0,\cdots$$

kuing

回复 3# isee

快你一分钟

isee

回复 4# kuing

我也想不到几何法，算知道结果就算了一下，反正要算，所以就发了。

游客

就是计算题呀，梅氏定理和相交弦定理（延长EA得到圆内接四边形）.

wzyl1860

这答案给得有点扯淡

游客

按2楼推理，应有：
BD=y=ab/x=2x+a+b=x+(x+a+b)=CF+AD.

游客

按2楼推理，应有：
BD=y=ab/x=2x+a+b=x+(x+a+b)=CF+AD.

kuing

回复 8# 游客

对喔，而且这一点可以另行作辅助线来证：

如图，在 `BC` 上取 `G` 使 `BG=x`，记 `\angle BAG=\theta`，则 `\angle CBF=\theta`, `\angle CAE=2\theta`，故
\[\angle AGD=\angle ABC+\theta=\angle BAC+\theta=\angle GAC+2\theta=\angle GAE,\]
所以 `DG=DA`，即 `y=x+r+b=2x+a+b`。

这样一来，2# 的割线定理就可以不用了，圆也可以不画了，就用这个加上梅氏就可以解出一般结果，简洁了不少。

kuing

回复 9# 游客

哈，我慢了几分钟，过程差不多

游客

回复 11# kuing


    因为你多打了一些字，而且还要打码

业余的业余

精彩！