平面向量的模最值

敬畏数学

两平面单位向量e1,e2,其夹角为60°，平面向量C满足：|ce1|+|ce2|$\leqslant $1（e1,e2,c均为向量），则向量C的模最大值？（寻求用不等式方法或图形解决？）

游客

参照2016浙江数学高考卷填空题。

kuing

回复 2# 游客

嗯，我也想起来了
顺便帮你给个链接吧：forum.php?mod=redirect&goto=findpost& … d=4964&pid=23757

kuing

学习一下链接中游客的解法：

设 `\bm e_3=\bm e_1+\bm e_2`, `\bm e_4=\bm e_1-\bm e_2`，由于 `\bm e_1`, `\bm e_2` 是夹角为 $60\du$ 的单位向量，所以 $\abs{\bm e_3}=\sqrt3$, $\abs{\bm e_4}=1$ 且 `\bm e_3\cdot\bm e_4=0`，而
\[
\abs{\bm c\cdot\bm e_1}+\abs{\bm c\cdot\bm e_2}
=\max\{\abs{\bm c\cdot\bm e_1+\bm c\cdot\bm e_2},
\abs{\bm c\cdot\bm e_1-\bm c\cdot\bm e_2}\}
=\max\{\abs{\bm c\cdot\bm e_3},\abs{\bm c\cdot\bm e_4}\},
\]
右边不得超过 `1`，故此 `\bm c` 在 `\bm e_3` 上的投影长度不超过 `1/\sqrt3` 且在 `\bm e_4` 上的投影长度不超过 `1`，所以其模长的最大值就是 `\sqrt{\bigl(1/\sqrt3\bigr)^2+1^2}=2/\sqrt3`。

图示如下，即 `\bm c` 的终点在矩形内（含边）：

kuing

或者换个写法，其实也没什么本质区别：
不妨设 $\bm e_1=(\cos30\du,\sin30\du)$, $\bm e_2=(\cos30\du,-\sin30\du)$, $\bm c=(x,y)$，则依题意有
\begin{align*}
1\geqslant\abs{\bm c\cdot\bm e_1}+\abs{\bm c\cdot\bm e_2}\geqslant\abs{\bm c\cdot\bm e_1+\bm c\cdot\bm e_2}=2\abs x\cos30\du&\riff\abs x\leqslant\frac1{\sqrt3},\\
1\geqslant\abs{\bm c\cdot\bm e_1}+\abs{\bm c\cdot\bm e_2}\geqslant\abs{\bm c\cdot\bm e_1-\bm c\cdot\bm e_2}=2\abs y\sin30\du&\riff\abs y\leqslant1,
\end{align*}
所以
\[
\abs{\bm c}=\sqrt{x^2+y^2}\leqslant\sqrt{\frac13+1}=\frac2{\sqrt3}.
\]

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回复 4# kuing

敬畏数学

forum.php?mod=viewthread&tid=4368#pid19710
找到类似的。

游客

\begin{aligned}
& \vec{c}=m \vec{e}_1+n \overrightarrow{e_2}, \quad \frac{3(m+n)}{4}=u, \frac{m-n}{4}=v . \\
& \Rightarrow\left|\vec{c} \cdot \overrightarrow{e_1}\right|+\left|\vec{c} \cdot \overrightarrow{e_2}\right|=\left|m+\frac{n}{2}\right|+\left|\frac{m}{2}+n\right|=|u+v|+|u-v| \leq 1 . \\
& \Rightarrow|\vec{c}|^2=m^2+n^2+m n=\frac{4 u^2}{3}+4 v^2=4\left(\frac{u^2}{3}+v^2\right) \leq \frac{4}{3} .
\end{aligned}\begin{aligned}
& \text { 或者: }\left|m+\frac{n}{2}\right|+\left|\frac{m}{2}+n\right| \leq 1 \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}
|m+n| \leq \frac{2}{3} \\
|m-n| \leq 2
\end{array}\right. \\
& \Rightarrow|\bar{c}|^2=m^2+n^2+m n=\frac{3}{4}(m+n)^2+\frac{1}{4}(m-n)^2 \leq \frac{4}{3} .
\end{aligned}

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回复 8# 游客
好办法！可以直接设u=m+n,v=m-n，免得开始那个设，有点力度过大。那个链接里的不等式处理牛！哈哈，竟然忘记。