三角形中边长比的范围

敬畏数学

三角形ABC中，A,B,C对边分别为a,b,c,且满足$a^2+b^2=kc^2$,(k均为正实数)，
求：(1)k满足的条件；（2)(a+b)/c的范围

kuing

（1）因 `(a^2+b^2)/c^2>(a^2+b^2)/(a+b)^2\geqslant1/2`，当 `a=b` 且 `c\to2a` 时 `(a^2+b^2)/c^2\to1/2`，以及 `a=b` 且 `c\to0` 时 `(a^2+b^2)/c^2\to+\infty`，可知 `k` 需满足 `k\in(1/2,+\infty)`；

（2）记 `f=(a+b)/c`，先求最大值，因为
\[f^2=\frac{(a+b)^2}{c^2}=\frac{k(a+b)^2}{a^2+b^2}\leqslant2k,\]
当 `a:b:c=1:1:\sqrt{2/k}` 时取等；

下界稍麻烦点，由 `a+b=fc`, `a^2+b^2=kc^2` 可得 `2ab=(f^2-k)c^2`, `(a-b)^2=(2k-f^2)c^2`，该三角形存在等价于 `a+b>c\land ab>0\land(a-b)^2<c^2`，即 `f>1\land f^2-k>0\land2k-f^2<1`，也即 `f>\max\bigl\{1,\sqrt k,\sqrt{2k-1}\bigr\}`，当 `k\leqslant1` 时显然右边为 `1`，当 `k>1` 时显然右边为 `\sqrt{2k-1}`。

综上，当 `1/2<k\leqslant1` 时，`f` 的范围是 `\bigl(1,\sqrt{2k}\bigr]`，当 `k>1` 时，`f` 的范围是 `\bigl(\sqrt{2k-1},\sqrt{2k}\bigr]`。

你未改之前写的题，是想推广此题是吧？只是没编对

kuing

当然，也可以从几何角度去考虑。

固定 `c` 和 `k`，根据中线长公式，可知 `c` 边上的中线长是定值，那么顶点 `C` 的轨迹就是个圆（除去与直线 `AB` 的两交点），而
\[\left( \frac{a+b}c \right)^2=\frac{2(a^2+b^2)-(a-b)^2}{c^2}=2k-\frac{(a-b)^2}{c^2},\]
于是就是研究圆上到两顶点的距离差，从几何角度看出就是在被除去的两点时差最大，那么同样分 `k` 与 `1` 的大小讨论一下即可，过程就不写了。

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大牛！完美。两种方法都给出。

游客

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目标式子的转化很棒！