指对数函数混合含参问题

敬畏数学

$ f(x)=xe^{-x}ln\frac{x+1}{2}+\frac{3}{4}e^x，g(x)=\frac{1}{2}xe^x-a(x-2) $，当$ 0\leqslant x\leqslant 1 $时，$ f(x)<g(x) $，求实数a的范围。谢谢！

kuing

函数太丑，不撸也罢……

kuing

咳，画图看了看发现最丑的那块（也就是混合那项）其实完全是多余的，纯粹是为了吓人坑人（抄错题除外）……

$ f(x)=xe^{-x}ln\frac{x+1}{2}+\frac{3}{4}e^x，g(x)=\frac{1}{2}xe^x-a(x-2) $，当$ 0\leqslant x\leqslant 1 $时，$ f(x)<g(x) $，求实数a的范围。谢谢！
敬畏数学 发表于 2019-1-23 12:02

首先代 `x=1` 有 `3e/4<e/2+a`，即 `a>e/4`，下面证明：当 `a=e/4` 时 `f(x)\leqslant g(x)`。

因为当 `x\in[0,1]` 时 `\ln\frac{x+1}2\leqslant0`，所以只需证
\[\frac34e^x\leqslant\frac12xe^x-\frac e4(x-2),\]
令 `x=1-t`, `t\in[0,1]`，不难将其化简为
\[1+2t\leqslant(1+t)e^t,\]
由 `e^t\geqslant1+t` 可知上式显然成立。

综上可知 `a` 的范围就是 `(e/4,+\infty)`。

太没意思鸟……还是最初的判断准确——不撸也罢……

isee

这种题凭往往是试卷上的，我也是非常头大这种题入手点窄。

敬畏数学

两边乘以$e^x$，变形为：$ \frac{1}{4}（2x-3）e^{2x}-a(x-2)e^x>xln\frac{1}{2}(x+1) $,显然右边的式子$g(x)\leqslant 0=g(0)=g(1)$，左边的式子设h(x)=$ \frac{1}{4}（2x-3）e^{2x}-a(x-2)e^x，0\leqslant x\leqslant 1 $，$\frac{d(h(x)}{dx}=e^x(x-1)(e^x-a)$;
(1)$ a\geqslant e $时，$ h(x)|min=h(0)>0 $;(2)$1<a<e $时，$ h(x)|min=min{h(0),h(1)}>0 $,（3）$\frac{e}{4}<a\leqslant 1 $时，$ h(x)|min=h(0)>0 $,(5)$a\leqslant \frac{e}{4} $时，$ h(x)|min=h(1)\leqslant 0=g(1)$,不合题意。综上：a的范围为$（\frac{e}{4},+\infty ）$。