一道解析几何定值问题的平几解法

wzyl1860

设椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，圆 $O: x^2+y^2=2$ 与 $x$ 轴正半轴交于点 $A$ ，圆 $O$ 在点 $A$ 处的切线被椭圆 $C$ 截得的弦长为 $2 \sqrt{2}$ ．
（I）求椭圆 $C$ 的方程；
（II）设圆 $O$ 上任意一点 $P$ 处的切线交椭圆 $C$ 于两点 $M, N$，试判断 $|P M| \cdot|P N|$ 是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是定值，请说明理由．

其妙

回复 1# wzyl1860
麻烦楼主贴出解析几何的方法

zhcosin

椭圆方程是 $\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$，设点 $P(x_0,y_0)$，则直线 $PMN$ 的法向量是 $\vv{OP}$，而方向向量是 $\vv{r}=(-y_0,x_0)$，对直线 $PMN$ 上任一点 $T(x,y)$，引入参数t: $\vv{PT}=t\vv{r}$，从而点 $T(x_0-ty_0,y_0+tx_0)$，且 $|\vv{PT}|=|t|\cdot|\vv{r}|=|t|\sqrt{x_0^2+y_0^2}=\sqrt{2}|t|$.

为确定出点 $M$ 和点 $N$ 对应的参数 $t$ 的取值，将 $T$ 坐标代入椭圆方程整理得
\[ (2+x_0^2)t^2+2x_0y_0\cdot t+y_0^2-4=0 \]
显然此方程的两个根，便对应着点 $M$ 和点 $N$，因此
\[ |\vv{PM}| \cdot |\vv{PN}| = 2|t_1t_2|=\frac{2|y_0^2-4|}{2+x_0^2}=2 \]

kuing

很简单啊。
熟知结论：若 `X`, `Y` 在椭圆 `x^2/a^2+y^2/b^2=1` 上，则 `OX\perp OY` 当且仅当直线 `XY` 与定圆 `x^2+y^2=r^2` 相切，其中 `1/r^2=1/a^2+1/b^2`。
根此，可知此题中恒有 `OM\perp ON`，从而 `PM\cdot PN=OP^2=2`。