又一道不等式含参的问题

敬畏数学

若对任意$ x\geqslant 1，a(e^{ax}-1)>2(x-\frac{1}{x})lnx$恒成立，则a的范围______.

kuing

不难呀，这种一看就是普通办法搞不了，多数就是靠观察玩变形之类的……

显然 `a=0` 不符合，若 `a<0` 则令 `x\to+\infty` 亦可知不符合，所以必先有 `a>0`。

原不等式可变形为
\[\bigl( (e^{ax/2})^2-1 \bigr)\ln(e^{ax/2})>(x^2-1)\ln x,\]
显然 `(x^2-1)\ln x` 在 `[1,+\infty)` 上递增且 `e^{ax/2}>1`，所以上式等价于\[e^{ax/2}>x,\]取对数就是\[\frac a2>\frac{\ln x}x,\]熟知右边最大值为 `1/e`，所以 `a>2/e`。

isee

回复 2# kuing

这个观察力强，也是解这种——至少我个人——一种设想方向。

直接看了你的解答，感触更是如此。

zhcosin

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6p6p