黄金分割

lrh2006

黄金分割的定义,在一条线段上找一个点,该点把线段分割成大小两段,使得较大线段与全线段的比等于较小线段与较大线段之比,这个点叫做黄金分割点,这个比叫做黄金比,则黄金比为
将顶角为36°的等腰三角形叫做黄金三角形,如图△ABC的腰AC长为1的黄金三角形,分别作△ABC底角平分线交对边于点$B_1,C_1$,两角平分线交于点D,重复以上步骤,形成系列黄金三角形△$D_nB_{n+1}C_{n+1}(n\inN^*)$,记$a_n=|D_nB_{n+1}|$,则$a_n=$

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第2个空不会,请各位赐教,谢谢

lrh2006

图放上去了，麻烦大家看一下，指点一下，先谢谢了

kuing

你看出中间那些全是正五边形没？

lrh2006

回复 4# kuing


   嗯嗯，你一说，我看出来了，可是接下来的计算很复杂诶，我算了半天还是没有算出来，可否再指点一下

kuing

回复 5# lrh2006

记黄金比为 `\varphi`，黄金三角形之所以称之为黄金三角形，就因为它的底边与腰的比就是 `\varphi`，题目当中已经提示了，当然你也可以在五角星里面证明这一点，这里就不说了。
`\triangle D_nB_{n+1}C_{n+1}\cong\triangle AB_{n+1}C_{n+1}`，故 `a_1=AB_2`, `a_2=AB_3` 等等，前者与后者之比，即相邻水平线之比，也即正五边形的边长与对角线之比，同样是 `\varphi`，所以 `a_n` 是等比数列，再添上 `a_0=AB_1`, `a_{-1}=AB=1`，一样等比，故此 `a_n=\varphi^{n+1}`。