画出2^(1/3)

realnumber

有没办法画出初中生或小六大概能理解的2的立方根，不限尺轨，只要理解就好，象画根号2类似.

zhcosin

别画了，思想实验，一个微型立方体连续性放大，放到某个大小的时候，咔嚓，弹出字幕: 体积 V=a^3=2，边长 a=\sqrt[3]{2}

isee

回复 1# realnumber

尺规作图是不可能，倍主方问题，了解一下。

曲线楼主明白没问题，小六除非从根号讲起，或直接近似值。

isee

倍立方问题

realnumber

恩，也只能如2楼3楼那样了.

kuing

我在想，如果有一个可以三等分任意角的工具，是否可以用它和尺规作出 `\sqrt[3]2`？

isee

回复 6# kuing


   可以，数学史上有数学名人搞个，我以前收集过 三大不可能的尺规作图问题 不过，硬盘换了好几个，不知丢哪儿了。

   有兴趣，你使劲搜 三大不可能的尺规作图 总是有非尺规方法的，前人的。

isee

楼主这么随便一问，其实问了个古老且难的几何名题，几千年后，才有完美的结果。

kuing

回复 7# isee

楼主说了“不限尺规”，所以我才想这个，如果通过三等分角能不太复杂地作出 `\sqrt[3]2`，那也就符合楼主的要求啦。

isee

回复 9# kuing


    刚google 到的，这个附件中给的方法并不全——我看过相关的书所以知道一点儿（虽然具体方法忘记了）——不过，差不多就是这样的意思了

hejoseph

回复 9# kuing


    不可能的，因为群论里已经证明了有整系数三次方程如果有三个不同的实数根，则不能通过系数和根式表示出来。而 $\sqrt[3]{2}$ 所满足的方程仅有一个实数根。

hbghlyj

isee 发表于 2019-2-19 23:44
刚google 到的，这个附件中给的方法并不全——我看过相关的书所以知道一点儿（虽然具体方法忘记了）——不过，差不多就是这样的意思了

抄page 3最后两段：

Menaechmus引入新的曲線，即圓錐曲線來解決這個問題:
將連比例式拆成兩個等式:\[\led\frac{a}{x}&=\frac{y}{2 a} \\ \frac{a}{x}&=\frac{x}{y}\endled\]由此可得方程式 $x^2=ay$ 及 $y^2=2 ax$。因爲 $a$ 已知, 所以兩個拋物線的頂點、對稱軸能決定出, 即兩拋物線的交點可作出, 即$x$與$y$可作出。

『圓錐曲線』當然不能用尺規作圖作出，要證明倍立方問題的不可能，也只要用到上述的三次方程次理論即可。設原立方體的邊長為$1$，要作出的立方體邊長為$x$，則要滿足 $x^3=2$，這個方程式沒有有理根，當然就沒有可尺規作圖的$x$了。

抄page 6第一段：

已知：線段 $a$
求作：線段 $x, y$ ，使得 $a: x=x: y=y: 2 a$
作法：1. 作拋物線 $y=\frac{1}{a} x^2$ [其中頂點 $(0,0)$, 對稱軸$y$軸, 過$(a,a)$]
2. 作拋物線 $x=\frac{1}{2 a} y^2$ [其中頂點 $(0,0)$, 對稱軸$x$軸, 過 $\left(\frac{a}{2}, a\right)$]。二拋物線交於 $P$
3. 過$P$作$ \overline{P T} \perp x$ 軸於 $T$, $\overline{P S} \perp y$ 軸於 $S$, 則 $\overline{P S}=x, \overline{P T}=y$ 即爲所求.

hbghlyj

《圆锥曲线论》陕西科技出版社 (2018) 汉译者序 第2页

hbghlyj

kuing 发表于 2019-2-19 22:20
我在想，如果有一个可以三等分任意角的工具，是否可以用它和尺规作出 `\sqrt[3]2`？ ...

hejoseph 发表于 2019-2-20 09:36
回复 9# kuing
$\sqrt[3]{2}$ 所满足的方程仅有一个实数根。

作$\root2\of3$、三等分角都是三次方程。为什么不能通过三等分角作出 `\sqrt[3]2`？见Czhang271828