同余

cty_zhl

已知数列{an}满足：an＝(根号下(2)＋1)^n－(根号下(2)－1)^n(n∈N)，
用[x]表示不超过实数x的最大整数，则[a2017]的个位数字是

kuing

发现循环后暴力递推来一发：

首先易知：当 `n` 为奇数时 `a_n` 为整数，当 `n` 为偶数时 `\sqrt2a_n` 为整数。

由特征方程理论可知，`a_n` 满足递推关系\[a_{n+2}=2\sqrt2a_{n+1}-a_n,\]通过不断迭代计算，可得\[a_{n+13}=47321a_{n+1}-13860\sqrt2a_n,\]那么，当 `n` 为偶数时，由于 `a_{n+1}` 以及 `\sqrt2a_n` 均为整数，因此，对上式模 `10` 即得\[a_{n+13}\equiv a_{n+1}\pmod{10},\]此式对 `n` 为偶数恒成立，所以\[a_{2017}=a_{168\times12+1}\equiv a_1=2\pmod{10},\]所以它的个位数字就是 `2`。

业余的业余

厉害