三道柯基不等式应用的题

力工

(1)斜三角形$ABC$中,证明：$\dfrac{\cos A}{\sin^2A}+\dfrac{\cos B}{\sin^2B}+\dfrac{\cos C}{\sin^2C}\geqslant 2$.
(2)已知$a,b,c>-1$，证明：$\dfrac{1+a^2}{1+a+b^2}+\dfrac{1+b^2}{1+b+c^2}+\dfrac{1+c^2}{1+c+a^2}\geqslant 2$.
(3)已知$a,b,c>0,a+b+c=3$，证明：$\dfrac{a^2}{a+3b^4}+\dfrac{b^2}{b+3c^4}+\dfrac{c^2}{c+3a^4}\geqslant \dfrac{3}{4}$.

kuing

第三题比较简单，而且用不着柯西，一直均值就行了：
\[\frac{a^2}{a+3b^4}=a-\frac{3ab^4}{a+3b^4}\geqslant a-\frac{3ab^4}{4\sqrt[4]{ab^{12}}}=a-\frac{3a^{3/4}b}4\geqslant a-\frac{3(3a+1)b}{16},\]
求和即得
\[\sum\frac{a^2}{a+3b^4}\geqslant3-\frac9{16}-\frac9{16}\sum ab\geqslant3-\frac9{16}-\frac9{16}\cdot3=\frac34.\]

kuing

第一题也用不着柯西啊，而且相当弱……用余弦定理及 `2S=bc\sin A` 得\[\frac{\cos A}{\sin^2A}=\frac{bc(b^2+c^2-a^2)}{8S^2},\]所以原不等式等价于\[\sum bc(b^2+c^2-a^2)\geqslant16S^2=2\sum a^2b^2-\sum a^4,\]即\[\sum a^4+\sum(b^3c+bc^3)\geqslant abc\sum a+2\sum a^2b^2,\]显然成立。

kuing

也就第二题才是专为柯西设计的，不过也是简单的：
\[LHS=\sum\frac{(1+a^2)^2}{(1+a^2)(1+a+b^2)}\geqslant\frac{(3+a^2+b^2+c^2)^2}{\sum(1+a^2)(1+a+b^2)},\]故只需证\[(3+a^2+b^2+c^2)^2\geqslant2\sum(1+a^2)(1+a+b^2),\]展开分解即\[(1+a^2)(a-1)^2+(1+b^2)(b-1)^2+(1+c^2)(c-1)^2\geqslant0.\]
之所以说简单，就因为展开时交叉项刚好全没了，分解是容易的。