这道解析几何题有否几何方法？

longma

12．已知圆 $M: x^2+(y-1)^2=1$ ，圆 $N: x^2+(y+1)^2=1$ ．直线 $l_1, ~ l_2$ 分别过圆心 $M, ~ N$ ，且 $l_1$ 与圆 $M$ 相交于 $A, B$ 两点，$l_2$ 与圆 $N$ 相交于 $C, D$ 两点．点 $P$ 是椭圆 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ 上任意一点，则 $\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C} \cdot \overrightarrow{P D}$ 的最小值为 $\qquad$

游客

余弦定理

longma

请教！最后的结果就是求2OP的平方，和A,B,C,D的位置没有关系，只和P的位置有关，不知道有没有什么几何背景！

游客

\begin{aligned}
& \overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C} \cdot \overrightarrow{P D} \\
& =(\overrightarrow{P M}+\overrightarrow{M A}) \cdot(\overrightarrow{P M}+\overrightarrow{M B})+(\overrightarrow{P N}+\overrightarrow{N C}) \cdot(\overrightarrow{P N}+\overrightarrow{N D}) \\
& =(\overrightarrow{P M}+\overrightarrow{M A}) \cdot(\overrightarrow{P M}-\overrightarrow{M A})+(\overrightarrow{P N}+\overrightarrow{N C}) \cdot(\overrightarrow{P N}-\overrightarrow{N C}) \\
& =\left(P M^2-1\right)+\left(P N^2-1\right) \\
& =\left(O P^2+O M^2-2 O P \cdot O M \cos \angle P O M\right) \\
& +\left(O P^2+O N^2-2 O P \cdot O N \cos \angle P O N\right)-2 \\
& =2 O P^2 .
\end{aligned}

敬畏数学

向量恒等式，中线长公式。套路题最近流行得很。不过此题编得ok!

longma

回复 5# 敬畏数学

请问，你的解题过程是？能否完整些？谢谢！

longma

回复 4# 游客
兄台，你的解题方法还是代数法