两个平面的交线应该怎么作？请专家支招

走走看看

zybang.com/question/c2c23bd2cdd90ae13b7f38ed945aed49.html
已知点M、N、K分别为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB、B1C1、DD1的中点，在正方体的所有面对角线和体对角线所在的直线中，与平面MNK平行的条数为（　　）
A. 6条
B. 7条
C. 8条
D. 9条


我的问题是，链接中的图片似乎想告诉我们，怎么作出MNK平面与正方体各面的交线。
到底如何作出E、F、G的？看了半天，没看出来。
如何画出平面MNK与BCC1B1的交点E呢？

走走看看

过K作平行于上下底面的中截面，一定和B1B交于中点E。那如何能说明E就在KMN上呢？

走走看看

小猿搜题有个视频讲解，但至少要花25元钱订购一个月。一个号码一个月可以免费看3次完整视频，不过我用完了。

realnumber

E、F、G是正方体棱的中点，和M、N、K共六点构成正六边形，（这个很容易证明）
三个不共线的点确定一个平面，所以正六边形所在面和面MNK是同一个面.

kuing

一般情形：长方体，三点在三异面棱上的截面作法（不一定最简单，不过我第一反应就是这样想的）：


楼主的题为特殊情形，因为三个都是中点，此时上图中在 E 之前作的那个点刚好就在棱中点上，也就是与 E 重合。如下图所示

kuing

回复上面@realnumber的点评：
没有，如果你想慢慢看清楚每一帧，可以下载图片，再找一个能编辑GIF的软件（网上搜一下很多）打开逐帧看。

PS、像这种可能还需要回复的点评应使用正常的回帖，一方面我无法直接引用点评内容，另一方面没有提醒。

kuing

嘛，果然第一反应还是笨了，更简单的作法如下：
静态图：
这样就作出了 E，接下来和上面的一样即可作 F、G。

走走看看

谢谢两位专家！
特别是Kuing大师用动画给出了作图的动态过程，且动画作得漂亮。

不过，要证明E就是中点，好像不太容易。

kuing

回复 8# 走走看看

用5#的图就可以看出中点啊

isee

嘛，果然第一反应还是笨了，更简单的作法如下：

这样就作出了 E，接下来和上面的一样即可作 F、G。 ...
kuing 发表于 2019-2-28 18:11

搞个静态的，动图看着眼睛疼。。。。。thx

业余的业余

学习了！好贴好画法。

乌贼

易知$ \triangle MNK $为等边三角形且其内心$ O $即为正方体中心，正方形$ ABCD $及$ ADD_1A_1 $的中心$ Q,L $，直线$ AD $的中点$ P $和点$ O $为一正方形且$ MK $与该正方形的交点即为$ MK $的中点$ E $，有$ O,E,P $三点共线，又$ N,O,E $三点共线，所以$ N,O,E,P $四点共线，同理……

业余的业余

回复 12# 乌贼

kuing 在第 7 楼的画法更一般，适用于长方体，甚至平行六面体(或许可推到更广泛但仍有一定特殊性的立体图形，比如4面两两平行另两面不平行的六面体---这里是猜测，或许可以更宽，或许要更窄)中不共面的三条棱上各任取一点的情形。利用了平行的两直线(线段)必共面这一结论，找到了关键点 $E$, 其它就迎刃而解了。这个画法可用于解决一系列的类似问题，很有掌握的价值。

乌贼

把图补全，延长$ CB $至$ P $使$ CB=2BP $，作正方形$ CPQE $及正方体$ CPQE-C_2P_1Q_1E_1 $，连接$ C_2P,PE,EC_2 $，$ M $即为$ AB $与$ PE $的交点，$ K $即为$ DD_1 $与$ C_2E $的交点，$ N $即为$ C_1B_1 $与$ PC_2 $的交点。

游客

嘛，果然第一反应还是笨了，更简单的作法如下：
静态图：
这样就作出了 E，接下来和上面的一样即可作 F、G ...
kuing 发表于 2019-2-28 18:11

两个不同平面的公共点的集合是一条直线，两平行平面与第三个平面的交线互相平行，两平行线确定一个平面。