证明一个二次型不等式

yao4015

设 $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ 都是非负实数, 证明
\begin{align*}
&\quad \ (\ \ \ x_1-x_2+x_3+x_4-x_5)x_1\\
&+(-x_1+x_2-x_3+x_4+x_5) x_2\\
&+(\ \ \ x_1-x_2+x_3-x_4+x_5) x_3\\
&+(\ \ \ x_1+x_2-x_3+x_4-x_5) x_4\\
&+(-x_1+x_2+x_3-x_4+x_5)x_5\geq 0.
\end{align*}.

kuing

由轮换对称性不妨设 `x_5` 为最小者，原不等式可整理为
\[(x_1 - x_2 + x_3 - x_4 - x_5)^2 + 4 (x_1 x_4 + x_3 x_5 - x_4 x_5)\geqslant0,\]显然成立。

kuing

\(\newcommand\phjj{\mathbin{\phantom{+}}}\)
\begin{align*}
&\phjj x_1 (\phjj x_1-x_2+x_3+x_4+x_5-x_6)\\
&+x_2 (-x_1+x_2-x_3+x_4+x_5+x_6)\\
&+x_3 (\phjj x_1-x_2+x_3-x_4+x_5+x_6)\\
&+x_4 (\phjj x_1+x_2-x_3+x_4-x_5+x_6)\\
&+x_5 (\phjj x_1+x_2+x_3-x_4+x_5-x_6)\\
&+x_6 (-x_1+x_2+x_3+x_4-x_5+x_6)\\
={}&(x_1 - x_2 + x_3 - x_4 + x_5 - x_6)^2+4 (x_1 x_4 + x_2 x_5 + x_3 x_6).
\end{align*}
\begin{align*}
&\phjj x_1 (\phjj x_1-x_2+x_3+x_4+x_5+x_6-x_7)\\
&+x_2 (-x_1+x_2-x_3+x_4+x_5+x_6+x_7)\\
&+x_3 (\phjj x_1-x_2+x_3-x_4+x_5+x_6+x_7)\\
&+x_4 (\phjj x_1+x_2-x_3+x_4-x_5+x_6+x_7)\\
&+x_5 (\phjj x_1+x_2+x_3-x_4+x_5-x_6+x_7)\\
&+x_6 (\phjj x_1+x_2+x_3+x_4-x_5+x_6-x_7)\\
&+x_7 (-x_1+x_2+x_3+x_4+x_5-x_6+x_7)\\
={}& (x_1 - x_2 + x_3 - x_4 + x_5 - x_6 - x_7)^2 \\
&+ 4 (x_1 x_4 + x_2 x_5 + x_3 x_6 + x_1 x_6 + x_3 x_7 + x_5 x_7 - x_6 x_7);
\end{align*}
\begin{align*}
&\phjj x_1 (\phjj x_1-x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7-x_8)\\
&+x_2 (-x_1+x_2-x_3+x_4+x_5+x_6+x_7+x_8)\\
&+x_3 (\phjj x_1-x_2+x_3-x_4+x_5+x_6+x_7+x_8)\\
&+x_4 (\phjj x_1+x_2-x_3+x_4-x_5+x_6+x_7+x_8)\\
&+x_5 (\phjj x_1+x_2+x_3-x_4+x_5-x_6+x_7+x_8)\\
&+x_6 (\phjj x_1+x_2+x_3+x_4-x_5+x_6-x_7+x_8)\\
&+x_7 (\phjj x_1+x_2+x_3+x_4+x_5-x_6+x_7-x_8)\\
&+x_8 (-x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6-x_7+x_8)\\
={}& (x_1 - x_2 + x_3 - x_4 + x_5 - x_6 + x_7 - x_8)^2 \\
&+ 4 (x_1 x_4 + x_2 x_5 + x_3 x_6 + x_4 x_7 + x_5 x_8 + x_1 x_6 + x_2 x_7 + x_3 x_8).
\end{align*}
\begin{align*}
&\phjj x_1 (\phjj x_1-x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7+x_8-x_9)\\
&+x_2 (-x_1+x_2-x_3+x_4+x_5+x_6+x_7+x_8+x_9)\\
&+x_3 (\phjj x_1-x_2+x_3-x_4+x_5+x_6+x_7+x_8+x_9)\\
&+x_4 (\phjj x_1+x_2-x_3+x_4-x_5+x_6+x_7+x_8+x_9)\\
&+x_5 (\phjj x_1+x_2+x_3-x_4+x_5-x_6+x_7+x_8+x_9)\\
&+x_6 (\phjj x_1+x_2+x_3+x_4-x_5+x_6-x_7+x_8+x_9)\\
&+x_7 (\phjj x_1+x_2+x_3+x_4+x_5-x_6+x_7-x_8+x_9)\\
&+x_8 (\phjj x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6-x_7+x_8-x_9)\\
&+x_9 (-x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7-x_8+x_9)\\
={}& (x_1 - x_2 + x_3 - x_4 + x_5 - x_6 + x_7 - x_8 - x_9)^2 \\
&+ 4 (x_1 x_4 + x_2 x_5 + x_3 x_6 + x_4 x_7 + x_5 x_8 + x_1 x_6 + x_2 x_7 + x_3 x_8 + x_1 x_8 + x_3 x_9 + x_5 x_9 + x_7 x_9 - x_8 x_9).
\end{align*}

kuing

回复 3# kuing

后面那些乘积的规律其实已经看出来了，只不过要用一般式子表达起来比较麻烦，就懒得写了。

还是回到正途上吧：记 `S=x_1+x_2+\cdots+x_n`（`n\geqslant4`），则原不等式就是
\[x_1(S-2x_n-2x_2)+x_2(S-2x_1-2x_3)+x_3(S-2x_2-2x_4)+\cdots+x_n(S-2x_{n-1}-2x_1)\geqslant0,\]也就是
\[S^2\geqslant4(x_1x_2+x_2x_3+\cdots+x_{n-1}x_n+x_nx_1),\]这实际上是道老题，用数归易证，见《撸题集》P334。

印象中还有一种更巧妙的均值证法，一时想不起来……

kuing

好像是这样：由轮换对称性不妨设 `x_3=\max\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}`，则
\begin{align*}
&4(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_4+x_4x_5+x_5x_6+\cdots+x_{n-1}x_n+x_nx_1)\\
\leqslant{}&4\bigl((x_1+x_3)(x_2+x_4)+x_3(x_5+x_6+\cdots+x_n)+x_nx_1\bigr)\\
\leqslant{}&4(x_1+x_3)(x_2+x_4+x_5+x_6\cdots+x_n)\\
\leqslant{}&S^2.
\end{align*}

yao4015

这个不等式有背景. 我们都知道, 定义在 $\mathbb{R}^n$ 上的二次型, 如果是非负的(也就是在整个空间取非负值), 则二次型是多项式的平方和. 进一步考虑定义在 $\mathbb{R}_{+}^n$ 上的二次型, 如果是非负的(也就是在第一卦限取非负值), 它的代数结构应该是什么样的呢? 一个自然的猜测是: 平方和+正系数多项式. 一楼的不等式就是用来说明这样的结构是不对的. Kuing 的证明中加入了变元的序(假设了最大元或最小元), 也就是说使用了序结构.  进一步的问题是, 如果不使用序结构能否证明一楼的不等式. 更一般的是去探索定义在 $\mathbb{R}_{+}^n$ 上非负的二次型, 它的代数结构应该是什么样子的呢?

yao4015

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一楼不等式的纯代数证明:
\begin{align*}
&\quad \ [(\ \  x_1-x_2+x_3+x_4-x_5)x_1\\
&+(-x_1+x_2-x_3+x_4+x_5) x_2\\
&+(\ \ \ x_1-x_2+x_3-x_4+x_5) x_3\\
&+(\ \ \ x_1+x_2-x_3+x_4-x_5) x_4\\
&+(-x_1+x_2+x_3-x_4+x_5)x_5]\\
&\times (x_1+x_2+x_3+x_4+x_5)=\\
&\quad \ (\ \ \ x_1-x_2+x_3+x_4-x_5)^2x_1\\
&+(-x_1+x_2-x_3+x_4+x_5)^2 x_2\\
&+(\ \ \ x_1-x_2+x_3-x_4+x_5)^2 x_3\\
&+(\ \ \ x_1+x_2-x_3+x_4-x_5)^2 x_4\\
&+(-x_1+x_2+x_3-x_4+x_5)^2x_5\\
&+4(x_1x_2x_4+x_2x_3x_5+x_3x_4x_1\\
&+x_4x_5x_2+x_5x_1x_3)\geq 0.
\end{align*}
这个证明显示出: 正变元的二次型与经典的二次型差别巨大.

kuing

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