请教一道面积问题

ddm94858

已知$O$为坐标原点，圆$M:(x+1)^2+y^2=1$,圆$N:(x-2)^2+y^2=4$,$A,B$分别为圆$M$和圆$N$上的动点,则三角形$OAB$最大值为？

kuing

当 `B` 取定时，要使面积最大，则 `A` 的位置必须使 `MA\perp OB` 且与 `B` 同侧，如下图所示。

设 `\angle AOM=\alpha`，则 `\angle BON=90^\circ-2\alpha`, `\angle AOB=90^\circ+\alpha`, `OA=2\cos\alpha`, `OB=4\sin2\alpha`，故
\[S=4\cos\alpha\sin2\alpha\cos\alpha=8\sin\alpha\cos^3\alpha,\]然后就是常规的均值方法
\[S^2=\frac{64}3(3-3\cos^2\alpha)\cos^2\alpha\cos^2\alpha\cos^2\alpha\leqslant\frac{64}3\left( {\frac34} \right)^4=\frac{27}4,\]即 `S\leqslant3\sqrt3/2`。

ddm94858

回复 2# kuing
学习了，多谢

敬畏数学

圆$M:(x+1)^2+y^2=1  $，圆$ N:(x-2)^2+y^2=4 $，A,B分别为圆M,N上的动点，三角形OAB（O为坐标原点）的面积最大值为______。

业余的业余

回复 1# 敬畏数学

用一个朴实的笨办法，来映衬使用不等式的巧解。

以参数形式表示 $A,B$ 的坐标为 $A(-1+\cos\alpha,\sin\alpha), B(2+2\cos\beta, 2\sin\beta)$, 并记 $f(\alpha,\beta)=\sin\alpha+\sin\beta+\sin(\alpha-\beta)$， 有

$S_{\triangle OAB}=\frac 12 |\vv{OA}\times\vv{OB}|=|(-1+\cos\alpha)\sin\beta-\sin\alpha(1+\cos\beta)|=|f(\alpha,\beta)|$

显然，$Max\{S_{\triangle OAB}\}$ 可在 $0<\beta\le\alpha<\pi$ 时取得。以下作此限定。

$\nabla f=\vv{0}\implies
\edr
\cos\alpha+\cos(\alpha-\beta)&=0\\
\cos\beta-\cos(\alpha-\beta)&=0
\endedr \implies \beta=\cfrac {\pi}3, \alpha=\cfrac{2\pi}3\\
\implies Max\{S_{\triangle OAB}\}=f\left(\cfrac {2\pi}3,\cfrac {\pi}3\right)=\cfrac {3\sqrt{3}}2$

敬畏数学

看来没有完全几何法可以搞定。

lemondian

回复 3# 业余的业余
这个解法看不懂哩

敬畏数学

回复 6# lemondian
似乎跨界了。

kuing

四天后的这帖 forum.php?mod=viewthread&tid=5943 嫌弃没有几何法，于是刚才又想了一下，还真想到了一个极其简单的纯平几解法

如图，沿长 `AO` 交大圆于 `A'`，因为两圆半径之比为 `2`，从而有 `OA'=2OA`，所以 $\S{OA'B}=2\S{OAB}$，显然当 `\triangle OA'B` 为等边三角形时面积最大，为 `3\sqrt3`，所以 $\max\S{OAB}=3\sqrt3/2$。

而且显然地，改变两圆的半径比也不影响此法的运用。

kuing

看来没有完全几何法可以搞定。
敬畏数学 发表于 2019-3-10 17:07

就因你这句，2#链接中我给出了纯平几解法

业余的业余

回复 6# lemondian

两个向量的叉积的模等于以这两个向量为两邻边的平行四边形的面积。

由此平面上  $O(0,0), A(a_x, a_y), B(b_x, b_y) $ 三点组成的三角形的面积为 \[ \frac 12
\left|\begin{array}{cccc}
    a_x &    a_y \\
    b_x &    b_y
\end{array}\right| =\abs{a_xb_y-a_yb_x}
\]

$\nabla  f$ 是 $f$ 在 各自变量方向的偏导组成的向量。极值点在 $\nabla  f=\bm{0}$ 处取得。根据问题的性质，题中所求是最大值点。

ddm94858

回复 4# kuing
这个解法更简洁

游客

敬畏数学

回复 8# kuing
nice!谢谢！如果改成向量OA*向量OB(向量数量积)的最大值呢？

kuing

回复  kuing
nice!谢谢！如果改成向量OA*向量OB(向量数量积)的最大值呢？
敬畏数学 发表于 2019-3-13 11:37

也简单啊，懒得再画图了，继续用那边的图

因为 $\vv{OA'}=-2\vv{OA}$，所以转化为同一圆内的 $\vv{OA'}\cdot\vv{OB}$ 的最小值，那么取最小值时必然是 `\angle A'OB` 为钝角且 `A'` 处的切线垂直于 `OB` 且 `B` 处的切线垂直于 `OA'` 时，也就是 `OA'=OB` 且 `\angle A'OB=120^\circ` 时，下略。

另外，再次引用之前这帖说过的：

向量的代码是\vv{...}，点乘是\cdot
码一下，就不用老强调（向量数量积）了

敬畏数学

回复 11# kuing
perfect!