4×4棋盘，概率

guanmo1

将1~16这16个正整数随机地填入4×4棋盘的16个格子中（每格填写一数），则使每行、每列填数之和皆为偶数的概率为            .

kuing

有进步：标题不是随便两三个字了，纯文字题目不是截图了。

问题应该可以简化为：将8个棋子随机放入4×4棋盘内，使每行每列的棋子数均为偶数的概率……

guanmo1

回复 2# kuing

求详解。

kuing

分类讨论一下，不知有没有错漏：

（1）有两行或两列出现 4 个，显然共 `2\times C_4^2=12` 种可能；

（2）只有一行或一列出现 4 个，比如，某行 4 个，则另外三行为 2、2、0 个，且 2 个的两行的棋子不能在同一列上，易知为 `4\times3\times C_4^2=72`，某列 4 个的也一样，所以共 `144` 种可能；

（3）所有行列都是 2 个，这时我们可以这样操作：
第一步在第一行放 2 个棋，第二步这 2 个棋的下方再各放 1 个。
若第二步的这 2 个棋在同一行，那么剩下的 4 个棋子别无选择，否则就会有两种选择。
因此这种情况共 `C_4^2\times(3+3\times2\times2)=90` 种可能。

综上，概率为 `(12+144+90)/C_{16}^8=41/2145`。

realnumber

var
a11,a12,a13,a14,a21,a22,a23,a24,a31,a32,a33,a34,a41,a42,a43,a44:longint;
m,n,k:longint;
begin
m:=0;
n:=0;
for a11:=0 to 1 do for a12:=0 to 1 do for a13:=0 to 1 do for a14:=0 to 1 do
  for a21:=0 to 1 do for a22:=0 to 1 do for a23:=0 to 1 do for a24:=0 to 1 do
    for a31:=0 to 1 do for a32:=0 to 1 do for a33:=0 to 1 do for a34:=0 to 1 do
      for a41:=0 to 1 do for a42:=0 to 1 do for a43:=0 to 1 do for a44:=0 to 1 do
        begin
        if a11+a12+a13+a14+a21+a22+a23+a24+a31+a32+a33+a34+a41+a42+a43+a44<>8 then continue else m:=m+1;
        if ((a11+a12+a13+a14) mod 2=0)and ((a21+a22+a23+a24) mod 2=0)and((a31+a32+a33+a34) mod 2=0)and((a41+a42+a43+a44) mod 2=0)and
           ((a11+a21+a31+a41) mod 2=0)and((a12+a22+a32+a42) mod 2=0)and((a13+a23+a33+a43) mod 2=0)and((a14+a24+a34+a44) mod 2=0) then n:=n+1;
        end;
      writeln(n,'   ',m);
end.


输出结果是246   12870 正好是你的答案41/2145.