2019全国大联考高三第五次联考最后一道题

走走看看

已知函数$f(x)=a\ln x-2x (a\inR)$。

• 若$a=1$，求曲线$y=f(x)$在$(1,f(1))$处的切线方程；
• 设函数$g(x)=f(x)+x^2$，若$g(x)$存在两个极值点$x_1$、$x_2(x_1<x_2)$，且不等式$g(x_1)≥mx_2$恒成立，求实数$m$的取值范围。

本题的（2），我采用的是分离参数法，但不知道如何处理最后的$x_1$、$x_2$的关系式。
能求出a的范围(1/2,0),后面就不知道处理了。

走走看看

把$x_1$设成$t$，则$0<t<\frac{1}{2}$，$x_2=1-t$，则$0<x1<\frac{1}{2},a=-2t^2+2t$，最后变成了

$h(t)=2t\ln t+1-t-\frac{1}{1-t}$，通过几何画板知道在$t$的范围内最小值为$\ln\frac{1}{2}-\frac{3}{2}$，如果允许$t=\frac{1}{2}$的话。

那怎么分析上述的h(t)呢？这个式子太复杂啦。

走走看看

回复 3# 走走看看


    终于解决了，只需对h(t)求一次导就可以了。
    看错了一个符号才导致迟迟得不到想要的结果。

游客

我在想：这样的题主要考查什么？是观察能力吗？
因为，作为解题的思想与策略，这个题没什么内核，正常考生都清楚，但就是会有很多人没有注意到那个关键处，然后就卡了。
国家总是反对应试教育，让一 线教师背锅，殊不知这都是当前选拔制度和考试题目下的必然产物，真的很无语......

isee

回复 5# 游客

还有金太阳，个人觉得导数压轴题都巨丑的。