2019年安徽省江南十校高三综合检测 理科数学 立体几何小题

走走看看

三棱锥A-BCD中，AC=AD=BC=BD=10，AB=8，CD=12，点P在侧面ACD上，且到直线AB的距离为√21，则PB的最大值是____。



答案见 wenku.baidu.com/view/8c4bbb79cd1755270722192e … 53610661fd95a61.html 。

为什么“此时PB最大”？

业余的业余

你的题和这道forum.php?mod=viewthread&tid=5953&extra=page=1
大体一样，$P$ 限定在侧面 $ACD$ 上，与最后的估计一致。

设$E$ 为 $CD$ 的中点，显然有 $AB=AE=BE=8$, 于是 $B$ 在平面 $ACD$ 的投影 $B'$ 为 $AE$ 的中点， 即 $AB'=4, BB‘=4\sqrt{3}$, 且直线 $AB$ 与平面所成的角度为 $60\du$.
若以$A$ 为坐标原点，$\vv{AE}$ 为 $X$ 轴正方向在平面 $ACD$ 上建立直角坐标系，有
1. 椭圆方程为 $\frac {x^2}{84}+\frac{y^2}{21}=1$, 或 $x^2+4y^2=84$;
2. 记椭圆与$AD, AE$ 的交点分别为 $F,G$, 有$B'(4,0), G(2\sqrt{21},0), F(\sqrt{\frac {21}{13}}, \frac 34\sqrt{\frac{21}{13}}$
（椭圆与直线 $y=\frac 34 x$ 的交点为  $F$)
3. $|PB|^2=|PB'|^2+|BB'|^2=|PB'|^2+48\tag{1}$
   如故求出了 $|PB'|^2$ 的最大值, 自然就得到了 $|PB|$ 的最大值。由对称性，只需考虑 $P$ 在 $\sqrt{\frac {21}{13}}\le x\le 2\sqrt{21}, y>0$ 中的情况。

$D(x)=|PB'|^2=(x-4)^2+y^2=(x-4)^2+21-x^2/4=\frac 34 x^2-8x+37$

显然最大值在边界处取得， $D(\sqrt{\frac {21}{13}})=?, D(2\sqrt{21})=?$, 把 $D$ 的最大值代入(1) 式，即得到所求最大值。不排除过程中有计算甚至逻辑错误。参考答案应该是对的。

PS: 与参考答案似乎差距不小，不知道哪里搞错了。思路供参考和批评吧。

kuing

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那帖我一直没看，因为讨论了那么久居然都没配个图
这帖总算有了，题目也是纯文字而且不缺关键词了，不过那图看着就误差大，还是画一个好看点的吧：

这里 `B'` 是 `B` 在 `ACD` 上的投影，问题就转化为 `B'` 到那段椭圆弧的最大距离。

确实，虽然看起来是端点处最大，但严格来说需要证明，坑……

噢对了，由题目的数据可知 `B'` 恰好处在弧两端连线的中点上，不过对证明似乎也没啥用……

kuing

回复 2# 业余的业余

椭圆方程应该是 `x^2/28+y^2/21=1` 吧，范围加上 `x\geqslant4`，然后 `B'(4,0)`，得 `B'P^2=(x-4)^2+y^2=(x-4)^2+21-3x^2/4=(x-16)^2/4-27`，于是显然当 `x=4` 时 `B'P^2_{\max}=9`，答案就是 `\sqrt{B'B^2+9}=\sqrt{57}`。

业余的业余

回复 4# kuing

游客

回复 3# kuing


    椭圆（圆柱侧面）上的点到轴AB的距离都相等，显然P点越高，PB越大，所以P在AC或AD上。

敬畏数学

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kuing

回复 6# 游客

原来是这样看嘀啊

走走看看

回复 8# kuing


    Kuing的配图很好看，各位老师的解答也是精彩纷呈，谢谢大家！