2010年全国理科数学第20题的奇怪解法

走走看看

已知函数f(x)=(x+1)lnx-x+1.
（Ⅰ）若xf'(x)≤x²+ax+1，求a的取值范围；
（Ⅱ）证明：(x-1)f(x)≥0

解答（Ⅰ）时，整理出来后是如下一个式子：xlnx-x²-ax≤0。
如果像我一样粗心，没有仔细研究它，而是直接求导，那是否也能解出正确答案呢？

题目来自：wenku.baidu.com/view/7d2a7cb9915f804d2a16c17f.html

isee

回复 1# 走走看看


可以的。

只是计算多了一环，求两次导即可。
令$$g(x)=x\ln x-x^2-ax,$$
讨论$$g''(x)=\frac {1-2x}x,$$
知$g'(x)$有极大值。
分两种情况讨论
一种为$g'(x)$极大值$\leqslant 0$；


另一种$g'(x)$极大值$>0$，此时$g(x)$有两个极值点，设两极值点分别为$x_1<1/2<x_2$，算$g(x)$的极大值$g(x_2)\leqslant 0$，
得到$x_2$的具体范围，再由$$g'(x)=0,$$确定实数$a$的范围。

走走看看

回复 2# isee


    $试了下，确实行。不过，按照惯例，必须能证明出这样的x1、x2存在，即要找到在（0,1/2）上有一点，g'(x)<0；同时在(1/2，+∞$))

$找到一点，使得g'(x)<0。而这两个点的确定，不容易。$

    $谢谢isee！$

走走看看

回复 3# 走走看看


    $能找到一个点\frac{-a}{e}，使得g'(x)<0，但不能确定在(0,\frac{1}{2})还是在(\frac{1}{2},+∞)上。$

游客

这个贴的主题到底是什么意思？
1.如果是因为不仔细，就可能出错，这样应该避免出错，不是为错误找寻出路啊。
2.作为题型，这样要导2次，极值点不能直接解出的，这样的类型这些年出现的好多的。
3.作为发现问题的一种方式，那发散性太强了......

isee

回复 3# 走走看看


不客气。   

回复 4# 走走看看


卖个关子，如果楼主把中文与数学公式分开写，换句话说：仅把公式两端加美元符号，我就细说一下，虽然楼主只是想多了而已

isee

回复 5# 游客


我认为楼主只是想研究一下，如果不把左端的$x$剥离，是否可解呢，就这个，并没什么其他意途吧。

走走看看

回复 5# 游客

主要是作为一种题型，比如没有x可以提取。
g'(x)极大值>0，不一定在整个定义域内g'(x)就有零点存在，如果没有零点存在，g(x)就没有极值啊。

高考中有不少题，都要找零点所在区间。这里不同的是，找导数的零点区间，而非原函数的零点区间。不是精确地得到零点。

走走看看

回复 7# isee


    作为一种方法，您开拓了一种思路。对于这道题，可能难以确定导数的零点区间，但在其他题中，可能可以做到。

isee

回复 9# 走走看看

算了，败给你了。

走走看看 坚持 中文与数学公式在一起好看，我也就罢了吧。


这才是我的重点，论坛各位初学公式时，特别郑重的建议，数学公式与中文分开。

isee

回复  走走看看


    $能找到一个点\frac{-a}{e}，使得g'(x)
走走看看 发表于 2019-3-22 06:55

以下是其次。

（取值）其实还是有极限思想的。

对于$$g’(x)=\ln x-2x+1-a,$$有极大值点$1/2$，其有零点需先有$$g'(1/2)>0\Rightarrow a<-\ln 2.$$

而此时记$$0<x_0=e^{a-1}<e^{-\ln 2-1}<\frac 12,$$

这时$$g'\left(e^{a-1}\right)=a-1-2x_0+1-a=-2x_0<0.$$


同样的$$e^{a^2+1}>\frac 12,$$

这时，注意$e^{a^2+1}>(a^2+1)+1$，
\begin{align*}
g'\left(e^{a^2+1}\right)
&=a^2+1-2\left(e^{a^2+1}\right)+1-a\\
&<a^2+1-2(a^2+1+1)+1-a\\
&=-a^2-a-2\\
&<0.
\end{align*}