一个导数题 困扰很久了请大佬分析

dvkxgl

已知函数$f(x)=ax^2-bx\ln x-cx+d(ab>0)$.设直线$l:y=kx+m$与曲线$y=f(x)$交于三点$A(x_1,f(x_1)),B(x_2,f(x_2)),C(x_3,f(x_3))$, 其中$x_1<x_2<x_3$.证明:适当地选取正数$\lambda$,存在直线$l$使得$a,b,c,d$变化时$A,C$处切线始终保持平行,且$x_1x_2x_3$恒为定值$\lambda$. 又问：当$a,b,c,d,\lambda$取定时，这样的直线$l$有几条?请写出一条直线$l$方程,用$a,b,c,d,\lambda$表示.

kuing

不太懂题意，最后那句“l 用 a,b,c,d,λ 表示”是否意味着 a,b,c,d 变化时直线也是同时变化的，而不是定直线？

isee

退一步，若直线为定的，我肯定把直线当x轴，A点当原点。。。虽然不一定能整出结果来。

dvkxgl

回复 2# kuing


    是的  l 随着a b c d lambda 变化  当 a b c d lambda 取定时问l有几条

游客

那么多字母。。。。。。
问题本身就是个函数零点个数的问题。
解这种题，不是死在方法上，其实是死在数据处理上，当然数据处理本身也讲方法。

realnumber

没头绪，这题目哪里来的.那么多变量真有这种性质？

dvkxgl

回复 6# realnumber
可以得到关于$x_2$方程
\[{{x}_{2}}-\frac{\lambda }{x_{2}^{2}}-\mu (3\ln {{x}_{2}}-\ln \lambda )=0,\quad\text{其中}\;\; \mu =b/(2a).\]
且$x_2$要满足$x_2>\lambda/\mu^2$.而关于$x_2$的方程在$x_2>\lambda/\mu^2$上可以有$0,1,2,3$个解,但是几何画板显示并不是每个解都可以.只有$x_2$取平凡解$x_2=\lambda^{1/3}$,直线$l$
才可以
\[l:y=-(b\ln {{\lambda }^{1/3}}+c)x+a{{\lambda }^{2/3}}+d,\quad \lambda \in (0,\mu^3).\]
我的问题是$x_2\ne\lambda^{1/3}$的解如何否定,一直困扰这