直角三角形之角的倍数

乌贼

在纵横之秒上的一题  2666666.blog.163.com/blog/static/6679636420165107491436/

已知：直角$ \triangle ABC $中，$ \angle ACB=90\du  $，$ D,E $分别在$ AC,BC $上，且$ \angle ABD=\angle BAE=30\du  $
求证：$ \angle CDE=3\angle CAE $。

isee

---有空我试试三角---

乌贼

如图：
以$ AB $为边作正$ \triangle ABF $，连接$ DF,EF $，延长$ AD $交$ BC $于$ G $，延长$ BE $交$ AC $于$ H $，易证\[ \angle HFE=\angle HAE= \angle DBC\\\angle DBG=\angle DFG=\angle CAE\\\angle HFE+\angle DFG=30\du \\\riff3\angle CAE+3\angle HFD=90\du \]
将$ \triangle DGF $绕点$ F $逆时针旋转使点$ G $与点$ H $重合，有\[ \triangle E_1FD\cong \angle EFD\riff\angle FDE=\angle FDE_1\\\riff\angle FDE+\angle HFD=90\du \\\riff\angle CDE+\angle FDC+\angle HFD=90\du \\\riff\angle CDE+3\angle HFD=90\du  \]综上\[ \angle CDE=3\angle CAE \]

isee

纯三角，想用张角公式，大致看了一眼，不太好消参。
又见直角，得，上直角坐标系吧。

如图，不妨令$C(0,0),A(1,0),B(0,b)$，设$D(m,0),E(0,n)$。

由$\angle DBA=30^\circ$，由到角公式
\begin{align*}
\tan 30^\circ&=\frac {k_{AB}-k_{BD}}{1+k_{AB}\cdot k_{BD}},\\[1em]
\frac 1{\sqrt 3}&=\frac {-b+b/m}{1+b^2/m},\\[1em]
m&=\frac {\sqrt 3b-b^2}{1+\sqrt 3b},
\end{align*}

同理由$\angle BAE=30^\circ$到角公式可得到$$n=\frac {\sqrt 3b-1}{b+\sqrt 3}.$$

从而$$\tan CDE=\frac nm=\frac {3b^2-1}{3b-b^3},$$

$$\tan CAE=\frac n1=\frac {\sqrt 3b-1}{b+\sqrt 3},$$

下面直接计算$$\tan 3\angle CAE=\frac {3n-n^3}{1-3n^2}=\frac {8(3b^2-1)}{8(3b-b^3)}=\tan CDE,$$证毕。

kuing

回复 4# isee

玩三角也用不着建系呀……

设中间那交点为 `O`，记 `\angle CAE=x`, `\angle DEA=y`，则由正弦定理
\[
\frac{\sin y}{\sin(60\du-y)}=\frac{OD}{OE}=\frac{\frac{OD}{OA}}{\frac{OE}{OB}}=\frac{\frac{\sin x}{\sin(120\du-x)}}{\frac{\sin(30\du-x)}{\sin(90\du+x)}}=\frac{\sin x\cos x}{\sin(30\du-x)\cos(30\du-x)}=\frac{\sin2x}{\sin(60\du-2x)},
\]显然 $f(t)=\sin t/\sin(60\du-t)$ 在 $(0,60\du)$ 内单调增，所以 `y=2x`，即得 `\angle CDE=3\angle CAE`。

isee

如图：
以$ AB $为边作正$ \triangle ABF $，连接$ DF,EF $，延长$ AD $交$ BC $于$ G $，延长$ BE $交$ AC ...
乌贼 发表于 2019-3-23 23:46

漂亮轻巧的辅助线，只是前两行三个角相等的部分字母有手误。

isee

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玩三角也用不着建系呀……

设中间那交点为 `O`，记 `\angle CAE=x`, `\angle DEA=y`，则由正 ...
kuing 发表于 2019-3-26 17:04

方向完全不同，哈哈。

反倒是忘记了最本质的方向（证个2倍角即好）。。。

isee

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玩三角也用不着建系呀……

设中间那交点为 `O`，记 `\angle CAE=x`, `\angle DEA=y`，则由正 ...
kuing 发表于 2019-3-26 17:04

这个方向话，交叉相乘，再积化和差，合并，整理得到$$\cos(60^\circ-2x+y)=\cos(60^\circ+2x-y)\Rightarrow y=2x.$$

isee

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玩三角也用不着建系呀……

设中间那交点为 `O`，记 `\angle CAE=x`, `\angle DEA=y`，则由正 ...
kuing 发表于 2019-3-26 17:04

这个三角等式实在妙，其他代换基本都没有出路，或者看不出化简方向。

再次，若用张角定理，得到的式子将是一个恒等式，也是没办继续的。

huing

如图，作出正三角形ABE和半圆弧ABC，图中同色角显然相等，并且
                       一个红色角+一个蓝色角=30°
所以                             黄色角+绿色角=30°
故可使               黄色角=红色角， 绿色角=蓝色角
则分割线  EH⊥CD，EH=EG=EF, H在一个以E为中心的圆弧上滑动，CD是圆弧的切线。
所以       ∠CDA=HEF=2倍蓝色角  →  ∠BCD=3∠CAD。