双钩函数与圆交点问题，不知道有没有增根

amoy1

函数$f(x)=x+1/x$上有点A、B，横坐标分别为1/2、3。过A、B的圆与$y=f(x)$仅有3个交点，求另一交点C坐标。

用“四点共圆，斜率互补”得C横坐标±$\frac{\sqrt{3}}{3}$,要不要舍？

游客

如果直接算，看起来很简单，算起来费神：
根据圆的一般方程和3点坐标，写出圆的方程；
圆与双曲线方程联立得到一个4次方程，分解出2个零点，剩一个2次3项式；
对这个2次3项式的零点分类讨论下就完事。

amoy1

回复 2# 游客

是的。
“四点共圆，斜率互补”是能用圆系方程简便算出的。
可以用角度关系直接得出$\frac{k_{AB}+k_C}{1-k_{AB}k_C}=\tan(\frac{3\pi}{4})$