三角形正弦余弦一题

realnumber

三角形ABC的三个角余弦值分别等于三角形DEF的三个角的正弦值，试判断它们的形状.
（选项：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形）
这枚题目很有意思.

kuing

我记得很早以前就见过这题……

realnumber

应该很早就有的

游客

三个余弦的显然是锐角三角形，那么另外一个必然是钝角三角形。

kuing

重新写一下，下午写得有点笨……
依题意有
\[
\cos A=\sin D=\cos(90\du-D)\riff A=\abs{90\du-D},
\]另外两者同理，故
\[
180\du=A+B+C=c_1(90\du-D)+c_2(90\du-E)+c_3(90\du-F),
\]其中 `c_i\in\{-1,1\}`，显然 `c_i` 不能全是 `1`，而取 `-1` 则意味着相应的角为钝角，但一个三角形内最多一个钝角，所以有且只有一个 `c_i` 取 `-1`，不妨设 `c_1=c_2=1`, `c_3=-1`，上式变成 $180\du=90\du-D-E+F=-90\du+2F$，解得 $F=135\du$。

综上得 `\triangle ABC` 有一角为 $45\du$，`\triangle DEF` 有一角为 $135\du$，其余两对角对应地互余。

realnumber

45,135度没想到，只是反证法证了下，
1>cosA=sinD>0,A为锐角，B,C一样
假设DEF都为锐角，那么$D=90\du -A$,EF一样，这和$D+E+F=A+B+C=180\du$
矛盾.此题外表好象难？唬住了一大批学生.