四边形中三角形面积的最大值

敬畏数学

平面凸四边形ABCD中，AB=1，BC=2，ACD为等腰直角三角形，AD=CD，则三角形BCD面积的最大值_______。

huing

如图，我们保持边 BC 水平固定，顶点 A 就在一个半圆弧上滑动（实际上要保持凸四边形，A不能跑遍半圆弧，从$A_2$起的一小段弧不能到达）。
当 A 滑动至 $A_1,A_2$, D 分别处于 $D_1,D_2$。在滑动过程中，保持两个等腰三角形 $\triangle A_2D_2C\sim\triangle ADC$, 故同时亦保持 $\triangle A_2AC\sim\triangle D_2DC$所以 D 的轨迹是 A 点所在半圆弧绕 C 点旋转 $-45\du$ 加缩放$\frac1{\sqrt2}$所得的圆弧。
显然，当 D 处于其所在圆弧的上顶点时，$S_{\triangle BCD}$取得最大值 $1+\frac{\sqrt2}2$.

敬畏数学

回复 2# huing
谢谢。能否解析法求出点D？

huing

显然上顶点为驻点，初画出来以为$\triangle BCD$是个正三角形，结果为$\sqrt3=1.732……$，与正确结果 1.707…… 确实比较接近. 填空题一犯懒图快的话就填上去了。

huing

解析法可以做吧。你看下面是否属于解析法？
原点设在B，置 C 于(2,0), 设A为 $(\cos\theta,\sin\theta)$,则 AC 中点为$\left(1+\frac12\cos\theta,\frac12\sin\theta\right)$,
D 可视为 C 绕 该中点旋转 $90\du$ 的位置，坐标为$$
\left(1+\frac12\cos\theta,\frac12\sin\theta\right)+\left(\frac12\sin\theta,1-\frac12\cos\theta\right)=\left(1+\frac12\cos\theta+\frac12\sin\theta,1-\frac12\cos\theta+\frac12\sin\theta\right)
$$显然有$$
S_{\triangle BCD}=y_D=1-\frac12\cos\theta+\frac12\sin\theta
$$易得最大值为$1+\frac1{\sqrt2}$.

乌贼

如图：
作直角等腰$ \triangle BCE,\angle BEC=90\du ,BE=CE $，有\[  \triangle CED\sim \triangle CBA \riff \dfrac{DE}{AB}=\dfrac{CE}{CB}\riff DE=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \]即$ D $点在以$ E $点为圆心，半径等于$ \dfrac{\sqrt{2}}{2} $的园上，所以\[ S_{\triangle BCD}\leqslant \dfrac{1}{2}\times (\sqrt{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2})\times 2=\dfrac{3\sqrt{2}}{2} \]

色k

回复 6# 乌贼

最后一行错了

isee

回复 6# 乌贼

2楼的简化，这相似直接

敬畏数学

回复 6# 乌贼
大牛。。。

敬畏数学

其实这题如果是平常的解三角形方法也可以搞定的，简单，刚刚计算一下不难。6#的方法好像很高深啊。学习。

敬畏数学

从三角计算过程中发现，此题似乎很有意义，如果ACD为等边三角形或者直角三角形都可以，是否可以推广一下？期待高手。。。。。

kuing

这有啥高深的啊，一句话讲完：位似旋转变换，就是这类题的本质。

敬畏数学

回复 12# kuing
好的，学习。

wwdwwd117

回复 12# kuing


    有没有类似的题，搞个来练练