对数及一次函数混合参数取值范围

敬畏数学

$ f(x)=lnx+(e-a)x+b $，e为自然对数的底数，若$ f(x)\leqslant 0 $恒成立，则$ \frac{b}{a} $的最大值______。

isee

一个方向，比较笨，硬求最大值，依题，$a>e$。
利用最大值不大于零，及导函数零点，将所求转化为关于导数零点的式子，再求第这个式（第二个式子）的最大值，我得到的结果是$1/\mathrm e$，也正好是第二个式子导数的零点。

isee

也许论坛里有，楼主自行参考吧

敬畏数学

回复 2# isee
谢谢。任何方法都可以。不错的方法。

游客

\begin{aligned}
& \text { 即: 不等式 } \ln x \leq(a-e) x-b \text { 对 } x>0 \text { 恒成立。 } \\
& \Rightarrow \text { 函数 } y=\ln x \text { 的图象在直线 } y=(a-e) x-b \text { 的下方或相切。 } \\
& \Rightarrow a>e ; \forall b>0, a \text { 越小, } \frac{b}{a} \text { 越大。 } \\
& \Rightarrow y=\ln x \text { 与 } y=(a-e) x-b \text { 相切时, } \frac{b}{a} \text { 最大。 } \\
& \Rightarrow b-\ln (a-e)=1 .(b>0, a>e) \\
& \Rightarrow \frac{b}{a}=\frac{b e}{e^b+e^2}, \text { 求函数 } y=\frac{e x}{e^x+e^2} \text { 的最大值即可。 }
\end{aligned}

走走看看

回复 5# 游客

很好，学习了。

走走看看

回复 3# isee

藏个宝贝在这里啊。