正三角形中求线段长

isee

正三角形$ABC$，如图，$D$在$AB$上，$E$在$AC$上，满足$AD=EC$，若$AF\perp DE$交$BC$于$F$，四边形$ADFE$的面积为$\sqrt 3$，求$DE$的长。

战巡

回复 1# isee

令$∠BAF=x, ∠CAF=y，AB=AC=BC=a$

由张角公式得
\[\frac{\sin(∠BAF)}{AC}+\frac{\sin(∠CAF)}{AB}=\frac{\sin(∠BAC)}{AF}\]
即
\[\frac{\sin(x)+\sin(y)}{a}=\frac{\sin(60°)}{AF}\]

另一方面显然$\sin(∠ADE)=\cos(x)，\sin(∠AED)=\cos(y)$，由正弦定理
\[\frac{\cos(x)}{AE}=\frac{\cos(y)}{AD}=\frac{\sin(∠DAE)}{DE}=\frac{\cos(x)+\cos(y)}{AE+AD}=\frac{\cos(x)+\cos(y)}{a}\]
以上两式相除得
\[\frac{\sin(x)+\sin(y)}{\cos(x)+\cos(y)}=\frac{DE}{AF}\]
\[\frac{2\sin(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2})}{2\cos(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2})}=\frac{DE}{AF}=\tan(30°)=\frac{1}{\sqrt{3}}\]

再加上$S_{ADFE}=\frac{1}{2}DE·AF=\sqrt{3}$，可得$DE=\sqrt{2}$

乌贼

作$BP\perp BC,DP\px AC  $，则$ DB=DP=EC $，$ DPAE $为平行四边形，
$ AFBP $四点共圆，有\[ AP=DE,\angle AFP=30\du ,AF=\sqrt{3}DE ,DE=\sqrt{2}\]

isee

回复 2# 战巡

THX

我也差不多，不过，是用余弦定理，面积，及$AE^2-AD^2=EF^2-DF^2$硬算得也是$$DE=\sqrt 2.$$

isee

$ AFBP $四点共圆，有\[ AP=DE,\angle AFP=30\du ,AF=\sqrt{3}DE ,DE=\sqrt{2}\]
乌贼 发表于 2019-4-13 13:45

这辅助线，一眼没看懂，也真没细看。不过，受其启发，只提出四点共圆，先构造平行边形ADEG，再证$\angle HGC=\angle AFC$，就有四点共圆了。

isee

回复  isee

令$∠BAF=x, ∠CAF=y，AB=AC=BC=a$

由张角公式得
\[\frac{\sin(∠BAF)}{AC}+\frac{\sin(∠CA ...
战巡 发表于 2019-4-13 12:28

赞，现在才学习完，比我用余弦定理硬算简了不知多少倍。
好解！

isee

作$BP\perp BC,DP\px AC  $，则$ DB=DP=EC $，$ DPAE $为平行四边形，
$ AFBP $四点共圆，有\[ AP=DE,\ang ...
乌贼 发表于 2019-4-13 13:45

换图了咯，现在的辅助线就顺眼多了，很厉害的入手，直接共圆。

我虽然是受其启发，但是方向大不一样，是等线段平移，虽然共圆也可以借用你的两直角来简化。


不知有没更简洁的辅助线，这是出现在一张中考模拟卷中的最后一个填空题，应该是竞赛中最简单的题。

乌贼

回复 7# isee
如果不用共圆。
如图：
取$ BC $中点$ M $，作$ DN\px AC $交$ AM $于$ N $，有\[ \angle DAN=\angle DNA=30\du \\DA=DN=EC \]$则 DECN $为平行四边形，有\[ DE=CN\\CN\perp AF \]即\[ \triangle AMF\sim CMN\riff \dfrac{DE}{AF}=\dfrac{CN}{AF}=\dfrac{AM}{CM}=\dfrac{\sqrt{3}}{3} \]

isee

回复 8# 乌贼


    真早，这其实本质相同，平移线段，另外有笔误，主要是，“AM/CM”，比反了