含绝对值三次函数问题，求简单方法

isee

题目：已知函数$f(x)=x^3+ax+b$定义域为$[-1,2]$，记$\abs{f(x)}$的最大值为$M$，则$M$的最小值为______.

此题亦出现在 2019年武汉4月高三理科数学模拟卷中。

果然，事关己才有动力去学新东西，也许是习惯分类画图解决，就思维固化了。

敬畏数学

$ a=-3，b=0 $，最大值的最小值为2。套路题，多刷就行。

走走看看

|f(-1)|=|-1-a+b|≤M

|f(0)|=|b|≤M

|f(1)|=|1+a+b|≤M

|f(2)|=|8+2a+b|≤M

则有 7M≥4|f(-1)|+2|f(1)|+|f(2)|≥|6+7b|≥6-7|b|≥6-7M

所以$M≥\frac{3}{7}$

请问错在哪里？

走走看看

回复 4# 走走看看

到底是$\frac{3}{7}还是2，搞不清楚。$

很像是2，因为2长得好看，比较帅。

isee

回复 5# 走走看看

最小值是2是没问题的，4#不对，一定是相对等号无法取得。
（我只知道正结果，其实我并不会解这类题，一直不会，只会最笨的方法，去绝对值讨论）

isee

是这样“伪装”吗？

$$6M\geqslant \abs{f(-1)}+3\abs{f(1)}+2\abs{f(2)}=\abs{-a+b-1}+\abs{-3a-3b-3}+\abs{4a+2b+16}\geqslant 12，$$

如果找出等号的$a,b$的值？三式围成的区域？翻了下，kuing，你以前的帖的，这个具体值搞不定。。

isee

是这样“伪装”吗？

$$6M\geqslant \abs{f(-1)}+3\abs{f(1)}+2\abs{f(2)}=\abs{-a+b-1}+\abs{-3a-3b-3}+\a ...
isee 发表于 2019-4-22 00:18

哦，明白了，还有6个M亦是"=",最终只有一组$$(a,b)=(-3,0)$$

原来是这么玩儿。。。

isee

人教群里的题，有位北京的网友也是分参，但是和我的思想不同，我是将直线保留在中间，他是将立方抛物线保留在中间，感觉，他的方式更好些，两平行线一夹就OK了

走走看看

回复 12# isee

何不把北京那位网友的东西祭出来，让我们大家看看呢？

wzyl1860

想复杂了，分类讨论了四种情况，后来才发现此题可以转化为“平口单峰函数”，这样的话就可以直接秒了！

敬畏数学

回复 14# wzyl1860
哈哈，蛮形象的。但不总是单峰或者全平口。此题与”任意$ x∈[-1,1] $，$ f(x)=ax^3-3x+1\geqslant 0 $恒成立，则$ a $的值_____。“有关联吗？

走走看看

感觉是在拼凑答案。

没有一个看起来令人信服的标准答案吗？

走走看看

回复 14# wzyl1860

怎么转化为 平口单峰函数？它本来不是这类函数哦。

到现在还是没弄懂。难道只有把四个式子对应的8种情况画出来，做线性规划，才是正解吗？

|f(x)|最大值的表达式是什么呢？

wzyl1860

\begin{align*}
\abs{f(x)}&=\abs{x^3-3x+(a+3)x+b}
     ，g(x)=x^3-3x为[-1,2]上平口单峰函数
\end{align*}