求助一个椭圆问题

joatbmon

正四棱锥$P-ABCD$中，$|AB|=2,|AP|=\sqrt{6}$，动点$M$在$\triangle PBC$所在平面上，满足$\angle PAM=30^\circ$，若$M$在平面$ABCD$上的射影为$M'$，则$\cos\angle BAM'$的最小值为

isee

似老相识，这个是代码题，虽然标题与内容似乎不一样

乌贼

$M$点轨迹是平面与圆锥的截面为椭圆，$M^，$点轨迹是以$ABCD$中心为中心的椭圆（或园，没算），都不好弄……

kuing

回复 3# 乌贼

$M^，$

kuing

闲来无事，还是看看这道题吧（由于没配图形，之前就直接略过了……

几何方法暂时没想到（估计也想不出了，交给乌贼玩吧），先来个 BaoLi 代数解法吧，毕竟很适合投影……

不妨设 `A(-1,-1,0)`, `B(1,-1,0)`, `C(1,1,0)`, `D(-1,1,0)`, `P(0,0,2)`，则显然平面 `PBC` 的方程为 `z=2-2x`。

设 `M(x,y,z)`，则
\[
\frac{\sqrt3}2=\cos\angle PAM=\frac{\vv{AP}\cdot\vv{AM}}{AP\cdot AM}=\frac{2+x+y+2z}{\sqrt6\cdot\sqrt{(x+1)^2+(y+1)^2+z^2}},
\]代入 `z=2-2x` 并两边平方化简，可得
\[27x^2+12xy+7y^2+18x-6y-18=0,\]这就是射影 `M'` 的轨迹方程，这是一个椭圆，且 `A` 在其外。

现在已经变成平面问题，要求 `\cos\angle BAM'` 的最小值，只需考查 `AM'` 的斜率，设其为 `k`，即 `y=k(x+1)-1`，与上述方程联立后，不难求出 `k\leqslant-\sqrt3-2` 或 `k\geqslant\sqrt3-2`，结合图形可知，当 `k=-\sqrt3-2` 时 `\cos\angle BAM'` 最小，此时 `\cos\angle BAM'=-1/\sqrt{1+k^2}`，代入 `k` 的值化简即得最小值为 `\bigl(\sqrt2-\sqrt6\bigr)/4`。

顺便 @3#乌贼 ：`M` 的轨迹并不是以 `P` 为中心，因此 `M'` 的轨迹也并不是以 `ABCD` 的中心为中心。

乌贼

$P$确实不是$AB$中点

另是中心都不玩，何况……