函数

lrh2006

向大家请教，谢谢

业余的业余

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$x\ge 0$ 时，有 $f(f(x)-x^2)=0$, 由单调性知 $f(x)-x^2=f(0)\implies f(x)=f(0)+x^2$, 类似的， $x<0$ 时，有 $f(x)=f(0)-x^2$

现证明 $f(0)=0$, 若不然，设 $c=f(0)\ne 0$, 分两种情形讨论
1. $c>0$ 有 $f(c)=0=c+c^2\implies c=-1$， 矛盾；
2. $c<0$, 有 $f(c)=0=c-c^2\implies c=1$, 矛盾。
故假设不成立，其反面为真，即 $f(0)=0$

$f(x)=\led x^2 \hspace{1cm} &x\ge 0\\-x^2 \hspace{1cm}& x<0\endled$

后面从函数图像入手比较简单，选 $C$

比较笨，期待高手的巧解。

敬畏数学

$ f(x)=x|x|，2f(x)=f(\sqrt{2}x) $，多刷题即可。套路题。